AP Calculus: İntegralde Tam Kareye Tamamlama

İntegralde tam kareye tamamlama, ikinci dereceden ifadeyi bilinen bir integral biçimine dönüştürür. Önce cebirsel eşitliği kurun; sonra payı ve değişken ölçeğini kontrol edin. Paydanın karesi tamamlandı diye her integral arctan olmaz: payın yapısı ve geriye kalan sabitin işareti hangi adımın uygun olduğunu belirler.

Bu konu, güncel AP Calculus çerçevesinde AB ve BC’nin ortak 6.10 başlığında yer alır. Sayfanın mevcut adresinde BC geçmesi yöntemin yalnız BC’ye ait olduğu anlamına gelmez. Aşağıdaki sorular bu rehber için hazırlanmış örneklerdir; sabit sınav puanı veya süre kazancı iddiası taşımaz.

Önce eşitliği açarak doğrulayın

x² + 6x + 13 = (x + 3)² + 4 olur. Çünkü (x + 3)² açıldığında x² + 6x + 9 verir; eksik kalan 4 eklenir. (x + 3)² + 13 yazmak, başlangıçtaki ifadeyi değiştirmektir. İşlem yalnız x’in katsayısını yarıya indirmekten ibaret değildir; eklenen kareyi sabit terimde dengelemek gerekir.

Baş katsayı 1 değilse önce onu ayırın: 2x² − 8x + 18 = 2(x² − 4x + 9) = 2[(x − 2)² + 5]. Dışarıdaki 2, integralde kaybolmaz. Payda olarak kullanıldığında 1/2 katsayısı dışarı alınır.

Özgün örnek: ters tanjant biçimini tanıyın

I = ∫ dx/(x² + 6x + 13) olsun. Tam kareyle I = ∫ dx/[(x + 3)² + 2²] yazılır. u = x + 3 seçilirse du = dx olur. Bilinen ∫ du/(u² + a²) = (1/a) arctan(u/a) + C bağıntısında a = 2’dir. Dolayısıyla I = (1/2) arctan[(x + 3)/2] + C bulunur.

Arctan burada ters tanjant fonksiyonudur; 1/tan anlamına gelmez. Önündeki 1/2 ve içindeki /2 aynı dönüşümün iki parçasıdır. Bunlardan birini unutursanız türev geri kontrolünde katsayı eşleşmez.

Nitekim d/dx {(1/2) arctan[(x + 3)/2]} = (1/2)·[1/(1 + (x + 3)²/4)]·(1/2) = 1/[(x + 3)² + 4] olur. Payda bütün gerçek x’lerde en az 4’tür; bu örnekte gerçek kutup yoktur ve ters türev bütün gerçek doğru üzerinde kullanılabilir.

Baş katsayı ve köklü ölçek birlikte kalır

J = ∫ dx/(2x² − 8x + 18) için önce J = (1/2)∫ dx/[(x − 2)² + 5] yazın. Bu kez a = √5 olduğundan J = [1/(2√5)] arctan[(x − 2)/√5] + C olur. Sonucun önünde yalnız 1/2 veya yalnız 1/√5 kalması iki ölçekten birinin unutulduğunu gösterir.

x = 2’de integrand 1/10’dur. Bulduğunuz fonksiyonun türevini bu noktada değerlendirmek hızlı bir katsayı kontrolüdür; ancak tek noktada eşleşme bütün aralık için kanıt değildir. Genel türev hesabında [1/(2√5)]·[1/(1 + (x − 2)²/5)]·1/√5 ifadesinin başlangıçtaki rasyonel fonksiyona eşit olduğunu da gösterin.

Pay değişince logaritma ortaya çıkabilir

Payda yine q(x) = x² + 6x + 13 olsun. ∫(2x + 6)/q(x) dx işleminde pay doğrudan q′(x)’tir. u = q(x) dönüşümü sonucu ln q(x) + C verir. q her yerde pozitif olduğundan bu örnekte ln q yazımı geçerlidir. Tam kareye tamamlama doğru olsa da burada en kısa yol pay ile paydanın türev ilişkisini görmektir.

Pay 3x + 5 ise onu (3/2)(2x + 6) − 4 olarak ayırabilirsiniz. İntegral iki bilinen parçaya dönüşür: ∫(3x + 5)/q(x) dx = (3/2) ln q(x) − 2 arctan[(x + 3)/2] + C. İlk parçanın türevi (3x + 9)/q, ikincinin türevi −4/q olduğundan toplam pay 3x + 5’e geri döner.

Geriye kalan sabitin işareti neden önemli?

x² + 6x + 5 = (x + 3)² − 4, artı 4 değil. Bu ifade x = −5 ve x = −1’de sıfır olur. Paydada kullanıldığında bu iki noktada tanımsızdır. Kare biçimine dönüşmüş olması, onu u² + a² kalıbına sokmaz; aynı arctan formülünü eksi işaretiyle kullanamazsınız.

Bu durumda çarpanlara ayırma ve uygun başka bir yöntem değerlendirilir. Lineer kısmi kesirler BC’de ayrı bir konudur; bu yazı onun bütün adımlarını tekrar etmez. Önemli kontrol, cebirsel dönüşümün işareti ve ilk fonksiyonun tanım kümesidir. Pozitif sabitli örnekte olmayan kutupları burada görmezden gelmeyin.

Belirli integralde iki tutarlı yol

∫₋₃⁻¹ dx/(x² + 6x + 13) için x sınırlarıyla ters türevi değerlendirmek (1/2)[arctan 1 − arctan 0] = π/8 verir. Alternatif olarak u = x + 3 ile sınırlar 0 ve 2 olur; ∫₀² du/(u² + 4) aynı değeri verir. Açı değerleri radyan cinsindedir.

İki yolu karıştırmayın: u ile yazılmış integrale eski −3 ve −1 sınırlarını koymak farklı bir integral hesaplar. Belirli integral sonucunda serbest +C bulunmaz. Payda bu kapalı aralıkta pozitif ve sürekli olduğu için temel teorem doğrudan uygulanabilir.

Özgün kontrol sorusu

∫ dx/(x² + 6x + 13) için bir ters türev hangisidir? A) arctan[(x + 3)/2], B) (1/2) arctan[(x + 3)/2], C) (1/2) arctan(x + 3), D) ln(x² + 6x + 13).

Doğru cevap B’dir. Bu soru bir ters türev istediği için seçeneklerde serbest C bulunması gerekli değildir. A’nın türevi istenenin iki katıdır; C’nin paydası 1 + (x + 3)² yapısındadır; D’nin türevinin payında 2x + 6 vardır. Genel aile sorulsaydı B’ye C eklenirdi.

İşlemin sonunda neyi kontrol etmeli?

Tam kareyi açın, dış katsayıları izleyin, payın q′ ile ilişkisine bakın ve bulduğunuz fonksiyonun türevini alın. Böylece arctan ile logaritmayı yalnız paydanın görünüşüne göre seçmemiş olursunuz. Daha geniş yöntem seçimi için integral tekniği rehberini inceleyin.

Konu hem AP Calculus AB hem AP Calculus BC çalışmalarında kullanılabilir.

Kaynak kontrolü: 15 Ekim 2026. College Board AP Calculus AB and BC kılavuzu, Konu 6.9–6.10 ve 6.12 kapsam ayrımı; OpenStax ters trigonometrik fonksiyonlarla sonuçlanan integraller. Örnekler özgündür.

Sık sorulan sorular