AP Calculus BC: Yakınsaklık Yarıçapı

Kuvvet serisinde yakınsaklık yarıçapı merkezden uzaklığı, yakınsaklık aralığı ise gerçekten izin verilen x değerlerini anlatır. İç bölgeyi bulduktan sonra iki uç noktayı özgün seriye ayrı ayrı koyun. Bu AP Calculus BC rehberi, özgün bir örnekle bu ayrımı kuruyor; faktöriyelli bir örnekte yanlış oran sadeleştirmesini ve merkezdeki özel durumu da açıklıyor.

Merkezde toplam her zaman sıfır değildir

Genel biçim c₀ + ∑_n=1^∞ c_n(x − a)ⁿ olsun. x = a için pozitif kuvvetli terimler sıfır olur, fakat sabit terim kalır; toplam c₀'dır. Seri n = 1'den başlıyor ve ayrıca sabit terim içermiyorsa merkezde toplam sıfır olur. Bu iki yazımı karıştırmayın.

Yarıçap R, 0, pozitif sonlu bir sayı veya ∞ olabilir. 0 < R < ∞ durumunda |x − a| < R içinde mutlak yakınsaklık, |x − a| > R dışında ıraksaklık vardır. Uç noktalar henüz karara bağlanmamıştır. R = 0 ise yalnız merkez, R = ∞ ise bütün gerçek x değerleri yakınsaklık kümesindedir.

Özgün örnek: merkez −1, yarıçap 3

∑_n=1^∞ (x + 1)ⁿ/(3ⁿ√n) serisini inceleyelim. Merkez a = −1'dir. x ≠ −1 için gerçek terimlerin mutlak oranı |u_n+1/u_n| = |x + 1|√(n/(n + 1))/3 olur ve L = |x + 1|/3 değerine gider.

L < 1 koşulu |x + 1| < 3, yani −4 < x < 2 verir. Buradan R = 3 okunur. L > 1 olan dış bölgede seri ıraksar. Merkez x = −1 için terimlerin tümü zaten sıfırdır; oran 0/0 yazılamadığı için o noktayı özgün seriyle doğrudan kontrol ederiz.

Uç noktada aynı oran limiti, farklı seri sonuçları

x = 2 koyunca ∑ 1/√n elde edilir. p = 1/2 olan pozitif p-serisi ıraksar; sağ uç alınmaz. x = −4 koyunca ∑ (−1)ⁿ/√n elde edilir. Büyüklükler pozitif, azalan ve sıfıra giden olduğundan dönüşümlü seri yakınsar. Mutlak değerli seri yine ∑ 1/√n olduğu için sol uçta yakınsaklık koşulludur.

Sonuç R = 3 ve yakınsaklık aralığı [−4, 2) olur. İki uçta da oran limiti 1 çıkması, iki serinin aynı sonucu vermesini gerektirmez. Köşeli parantez sol noktanın dâhil olduğunu söyler; mutlak yakınsak olduğu anlamına gelmez.

Faktöriyelli örnekte oranı satır satır sadeleştirin

∑_n=1^∞ n!(x − 2)ⁿ/nⁿ için katsayı c_n = n!/nⁿ olsun. Ardışık katsayı oranı (n + 1)!nⁿ/[(n + 1)ⁿ⁺¹n!] = (n/(n + 1))ⁿ → 1/e olur. Fazladan bir 1/(n + 1) çarpanı kalmaz.

Dolayısıyla L = |x − 2|/e, R = e ve iç bölge 2 − e < x < 2 + e'dir. Bu örnekte yarıçapın ∞ olduğu sonucu yanlış oran hesabından doğar. Faktöriyel görmek, tek başına yarıçapı belirlemez; paydaki ve paydadaki diğer n bağımlılıklarını da sadeleştirin.

Uçlarda terim büyüklüğü d_n = n!eⁿ/nⁿ olur. Oranı d_n+1/d_n = e/(1 + 1/n)ⁿ > 1'dir. Son eşitsizlik n ln(1 + 1/n) < 1'den gelir; ln(1 + t) < t, t > 0 için geçerlidir. Böylece d_n artar ve d₁ = e'den küçük olmaz; terimler sıfıra gitmez.

Sağ uçta terimler pozitif, sol uçta dönüşümlü işaretlidir; fakat ikisinde de büyüklüklerin sıfıra gitmemesi yeterlidir. İki uç da ıraksar ve yakınsaklık aralığı (2 − e, 2 + e) olur. Oran limiti 1 çıktığında karar vermeyen oran testinin yerine burada terim koşulunu kullandık.

Yarıçapın 0 veya sonsuz olması

Özgün ∑_n=1^∞ n!(x + 2)ⁿ serisinde merkez dışındaki mutlak terim oranı (n + 1)|x + 2| sonsuza gider. Seri x ≠ −2 için ıraksar; x = −2'de bütün terimler sıfırdır. R = 0 ve yakınsaklık kümesi yalnız {−2}'dir.

Buna karşılık ∑_n=1^∞ (x − 3)ⁿ/(2ⁿn!) için x ≠ 3'te oran |x − 3|/[2(n + 1)] → 0 olur. Her gerçek x için mutlak yakınsaklık vardır; merkezdeki sıfır terimler ayrıca doğrudan kontrol edilir. Burada R = ∞'dir; sonlu uç noktalar üretip sınamak gerekmez.

Aynı yarıçap, farklı uç noktalar

∑ (x + 1)ⁿ/(3ⁿn^p) ailesinde p = 0, 1 ve 2 için oran limiti yine |x + 1|/3'tür. Merkez ve yarıçap aynı kalır; n'in kuvveti uçları değiştirir.

Seride fazladan (−1)ⁿ bulunursa uçlardaki işaret düzeni de değişebilir. Örneğin ilk √n paydalı modelin önüne bu çarpanı eklemek sol uçtaki iki işareti çarparak pozitif seri üretir; sağ uç ise dönüşümlü olur. Yalnız merkezin solunda veya sağında olmasına bakıp yakınsaklık türünü ezberlemeyin.

Kendinizi sınayın

İlk √n paydalı özgün seri için hangi aralık doğrudur?

1. (−4, 2)
2. [−4, 2)
3. [−4, 2]
4. (−4, 2]

Doğru seçenek B'dir. Sol uç koşullu da olsa yakınsaktır ve alınır; sağ uçtaki pozitif 1/√n serisi ıraksadığı için alınmaz. İç bölgedeki mutlak yakınsaklık, uçların da mutlak yakınsak olmasını gerektirmez.

Güncel College Board çerçevesi Topic 10.13'te yarıçap ve aralığı BC kapsamında ele alır; iki ucun ayrıca sınanmasını ister. Oran testi, oranların tanımlı olduğu uygun serilerde kullanılan bir araçtır; katsayılarda sıfırlar bulunması gibi durumları görmezden gelip her ifadeye aynı oranı zorlamayın. Başka bir testi kullanmadan önce onun da koşullarını kontrol edin.

Fonksiyonun seriyle temsilini Taylor ve Maclaurin rehberinde, matematiksel temeli OpenStax: kuvvet serileri kaynağında inceleyebilirsiniz. Ders bilgisi AP Calculus BC sayfasındadır. Buradaki örnekler sabit soru puanı, çözüm süresi veya sınavda çıkma sıklığı iddiası taşımaz.

Sık sorulan sorular