AP Calculus BC: Vektör İntegrali ve İlk Konum

Hız vektöründen konuma geçerken iki bileşenin integralini ayrı hesaplayın ve başlangıç konumunu ikisine de uygulayın. Belirli hız integrali yer değiştirmeyi verir; son konumu bulmak için bu vektörü bilinen konuma ekleyin. Türev alarak geri kontrol yapmak, eksik sabiti ve yanlış integral sınırını ortaya çıkarır.

Önce verilen vektörün ne olduğunu okuyun

College Board'ın Calculus BC ders çerçevesinde 9.5, bir değişim vektörü ve başlangıç koşulundan özel çözüm bulmayı kapsar. Bu rehber bu kuruluşa odaklanır. Türev işlemini ayrıca çalışmak için vektör türevi rehberine geçebilirsiniz. Aşağıdaki modeller özgündür; resmî sınav sorusu veya puanlandırılmış öğrenci yanıtı değildir.

v(t) = ⟨v_x(t), v_y(t)⟩ hız olarak verilmişse bileşen integralleri konuma götürür. Verilen vektör ivmeyse aynı işlem önce hızı verir. Sembole bakıp işlem seçmeyin: soruda r(t) adıyla verilen fonksiyon gerçekten konumu temsil ediyorsa ∫r(t) dt ifadesi kendiliğinden konum olmaz.

Özgün örnek: başlangıç zamanı sıfır değilken

t saniye, konum metre cinsinden olsun. v(t) = ⟨6t − 2, 3t²⟩ ve r(1) = ⟨4, −1⟩ veriliyor. Bir asal fonksiyon ailesi r(t) = ⟨3t² − 2t + C₁, t³ + C₂⟩ biçimindedir. t = 1 koşulundan 1 + C₁ = 4 ve 1 + C₂ = −1 elde edilir. Dolayısıyla C₁ = 3, C₂ = −2 ve r(t) = ⟨3t² − 2t + 3, t³ − 2⟩ olur.

İki sabit, iki bileşenin bağımsız başlangıç bilgisini taşır. Bunları ⟨C₁, C₂⟩ sabit vektörüyle kısaca yazabilirsiniz. Tek bir sayısal sabiti zorunlu olarak iki bileşene de eklemek aynı şey değildir. Sabitlerin değerleri bazı sorularda eşit çıkabilir; farklı olmak zorunda değillerdir.

Çözümü iki yönden kontrol edin: r′(t) = ⟨6t − 2, 3t²⟩ verilen hızı, r(1) = ⟨4, −1⟩ verilen konumu sağlamalıdır. Yalnız türev kontrolü sabitleri denetleyemez; yanlış sabitli bir konum da aynı türeve sahip olabilir.

Aynı çözümü belirli integral ile kurun

Başlangıç konumunu doğrudan koruyan yazım r(t) = r(1) + ∫₁^tv(u) du olur. u integralin kukla değişkenidir; üst sınırdaki t ile karışmaz. Örnekte r(t) = ⟨4 + ∫₁^t(6u − 2) du, −1 + ∫₁^t3u² du⟩ yazılır. Başlangıç anında iki integral de sıfırdır.

İlk satırdaki ⟨7, 7⟩, r(2) değildir: bilinen ⟨4, −1⟩ konumuna eklenmesi gerekir. Daha önceki bir an da aynı formülle bulunabilir. r(0) = r(1) + ∫₁⁰v(t) dt = ⟨4, −1⟩ + ⟨−1, −1⟩ = ⟨3, −2⟩ olur. Alt sınırın üst sınırdan büyük olması işaret değişimini gerektirir; bu bir hesap hatası değildir.

Trigonometrik integralde sabitin işaretini kontrol edin

Özgün ikinci modelde v(t) = ⟨cos t, 2sin t⟩ ve r(0) = ⟨−2, 5⟩ olsun; trigonometrik açılar radyandır. İntegral ailesi ⟨sin t + C₁, −2cos t + C₂⟩ biçimindedir. Başlangıç koşulu C₁ = −2 ve −2 + C₂ = 5 verir; bu yüzden C₂ = 7'dir. Konum r(t) = ⟨sin t − 2, 7 − 2cos t⟩ olur.

t = π için r(π) = ⟨−2, 9⟩, 0 ile π arasındaki yer değiştirme ise ⟨0, 4⟩ bulunur. İkinci bileşene doğrudan “+5” yazıp durmak başlangıç koşulunu sağlamaz: −2cos(0) + 5 = 3 eder. Önce asal fonksiyonu değerlendirin, sonra sabiti çözün.

İvmeden başlanıyorsa iki ayrı koşul gerekir

Özgün üçüncü modelde a(t) = ⟨2, −6t⟩, v(0) = ⟨−1, 2⟩ ve r(0) = ⟨3, −4⟩ verilsin. İlk integral ve hız koşulu v(t) = ⟨2t − 1, 2 − 3t²⟩ verir. İkinci integral ve konum koşulu r(t) = ⟨t² − t + 3, 2t − t³ − 4⟩ verir. t = 1'de hız ⟨1, −1⟩, konum ⟨3, −3⟩ olur.

Yalnız ivme ve r(0) verilseydi başlangıç hızı belirlenmiş olmazdı. Örneğin bu ivmeyle r(t) = ⟨t² + At + 3, −t³ + Bt − 4⟩ ailesindeki her A ve B aynı başlangıç konumunu ve ivmeyi sağlar. Eksik hız bilgisini “başlangıçta duruyor” varsayımıyla tamamlamayın; bunu söyleyen bir koşul gerekir.

Başlangıç koşulu hangi aralıkta geçerlidir?

Özgün v(t) = ⟨1/(t − 1), 2t⟩ modeli t > 1 aralığında verilsin ve r(2) = ⟨0, 3⟩ olsun. Bu aralıkta r(t) = ⟨ln(t − 1), t² − 1⟩ bulunur. Kontrol için r(2) = ⟨0, 3⟩ ve r′(t) = v(t) yazılabilir; t = 3'te konum ⟨ln 2, 8⟩'dir.

Model t = 1'de tanımlı değildir. Bu noktadan geçip aynı başlangıç çözümünü t = 0'a uzatamazsınız. 1/(t − 1) için 0 ile 2 arasındaki uygunsuz integral de yakınsamaz; karşıt işaretli sonsuz davranışları sonlu bir yer değiştirme gibi birbirinden çıkarmak geçerli değildir. İntegral kurulmadan önce verilen aralığı ve tanımsız noktaları işaretleyin.

Özgün çoktan seçmeli kontrol

v(t) = ⟨2t, 3⟩ ve r(1) = ⟨2, −1⟩ veriliyor. r(2) hangisidir?

1. ⟨3, 3⟩
2. ⟨4, 6⟩
3. ⟨5, 2⟩
4. ⟨−1, −4⟩

Doğru cevap C'dir. ∫₁²v(t) dt = ⟨3, 3⟩ olduğundan r(2) = ⟨2, −1⟩ + ⟨3, 3⟩ = ⟨5, 2⟩ olur. A yalnız yer değiştirmedir. B, ⟨t², 3t⟩ asal fonksiyonuna başlangıç koşulu uygulanmadan t = 2 konmasının sonucudur. D ise başlangıç konumundan ileri yer değiştirmeyi yanlışlıkla çıkarmaktır.

Çalışma kontrolü: türev, koşul ve sonuç türü

Her çözümde bulunan fonksiyonu türevleyin, başlangıç zamanını yerine koyun ve sonuç türünü okuyun. Hız integrali bir yer değiştirme vektörüdür; toplam alınan yol ise süratin integralidir. Bu ayrımın matematiksel temeli OpenStax'ın bileşen integrali açıklamasında ve ders çerçevesinin 9.6 bölümünde bulunur. Yol hesabını bu rehberdeki konum hesabıyla değiştirmeyin.

Güncel sınav yapısı hangi bölümde hesap makinesi kullanılabildiğini belirtir; her vektör integrali için belirli bir soru sırası, çözüm süresi veya sabit puan dağılımı tanımlamaz. Hatanız sabitteyse koşul kontrolünü, sınırlardaysa yer değiştirme yönünü, işlemdeyse ilgili tek değişkenli integral kuralını yeniden çalışın.

Sık sorulan sorular

Kaynaklar

• College Board: AP Calculus AB ve BC ders çerçevesi, 9.5 ve 9.6
• College Board: güncel Calculus BC sınav bilgisi
• OpenStax: vektör değerli fonksiyonların türev ve integrali

Kaynakların olgusal kontrol tarihi: 15 Ekim 2026. Örneklerin tamamı bu rehber için hazırlanmıştır.