AP Calculus Birinci Türev Testi ve Ekstremum

Birinci türev testi, bir kritik sayının yerel maksimum mu, yerel minimum mu, yoksa hiçbirisi mi olduğunu türevin iki taraftaki işaretiyle belirler. f'(c) = 0 denklemi yalnızca aday üretir. Yerel karar ile kapalı aralıkta mutlak ekstremum hesabını ayırmak, aynı fonksiyon üzerinde farklı soruları doğru yanıtlamanızı sağlar.

Kritik sayı ve birinci türev testinin koşulları

f'in tanım kümesindeki bir iç noktada f'(c) = 0 olması veya f'(c)'nin bulunmaması, c'yi kritik sayı yapar. Fonksiyonun tanımsız olduğu bir nokta bu tanıma girmez. Yerel maksimumda f(c), yakınındaki fonksiyon değerlerinden küçük değildir; yerel minimumda büyük değildir. Yakın çevredeki bir sonuç, bütün aralıktaki en büyük veya en küçük değer anlamına gelmez.

Birinci türev testinin alışılmış biçiminde f, c'de süreklidir ve c'nin iki yanında türevlenebilir; türevin işareti incelenen yan aralıklarda sabittir. Aşağıdaki kararlar bu koşullarla kullanılır.

Tam örnek: iki kritik sayı, iki farklı ekstremum

f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5 olsun. Türev f'(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1) olduğundan kritik sayılar −1 ve 3'tür. Türevin işareti (−∞, −1), (−1, 3), (3, ∞) aralıklarında sırasıyla +, −, + olur.

−1'de işaret pozitiften negatife değişir: yerel maksimum (−1, 10). 3'te negatiften pozitife değişir: yerel minimum (3, −22). x = −2 testinde iki negatif çarpanın çarpımı pozitiftir; bu ilk aralığın işaretini doğrular. Herhangi bir tek çarpanın işaretini tüm türevin işareti sanmayın.

Aynı fonksiyon için [−2, 4] üzerindeki mutlak ekstremumları bulmak üzere f(−2) = 3, f(−1) = 10, f(3) = −22, f(4) = −15 değerlerini karşılaştırın. Mutlak maksimum 10, mutlak minimum −22'dir. Başka bir kapalı aralık seçilse uç noktalar sonucu değiştirebilir.

Tek ve çift katlı kök: f'in değil, f'in türevinin çarpanı

g(x) = (x − 1)²(x + 2) için g'(x) = 3(x − 1)(x + 1). g'de (x − 1)² bulunmasına rağmen g' içindeki x − 1 çarpanı tek katlıdır. Türev işareti +, −, + biçimindedir: (−1, 4) yerel maksimum, (1, 0) yerel minimumdur.

Buna karşılık h(x) = x³ için h' = 3x², 0'ın iki yanında pozitiftir. Türevde çift katlı sıfır nedeniyle işaret değişmez; (0, 0) yerel ekstremum değildir. Kökün katlılığını yorumlarken hangi ifadenin çarpanlarına baktığınızı açık tutun.

Türev bulunmadığında test hâlâ işe yarayabilir

f(x) = |x| için 0'da fonksiyon sürekli, sol türev −1 ve sağ türev +1'dir. İşaret değişimi yerel minimumu gösterir. f(x) = x^(2/3) = (∛x)² için x ≠ 0'da f'(x) = 2/(3∛x); solda negatif, sağda pozitiftir. 0'da sonlu türev yoktur, fakat f(0) = 0 bir yerel minimumdur.

f(x) = ∛x örneğinde ise x ≠ 0'da f' = 1/(3x^(2/3)) > 0. 0'da sonlu türev bulunmamasına rağmen iki yandaki artanlık aynı yöndedir; yerel ekstremum yoktur. Türevin bulunmaması otomatik olarak minimum demek değildir.

f(0) = 0 olarak tamamlanan f(x) = x sin(1/x) de 0'da türevlenmez; fakat her yakın çevrede hem pozitif hem negatif değer alır. 0 yerel maksimum veya minimum değildir. Bu örnekte türev işareti çevrede sabit değildir; basit dört hücreli tabloyu gerekçesiz uygulayamazsınız.

Grafik ve farklı türev biçimlerinden karar

f' grafiğinde eksenin üstünden altına bir geçiş, uygun süreklilik koşuluyla f'in yerel maksimumunu gösterir. Eksenin altından üstüne geçiş minimumu gösterir. Grafiğin eksene yalnızca dokunması, işaret değişimi anlamına gelmez.

f'(x) = a(x − c) için a > 0 ise sol işaret negatif, sağ işaret pozitiftir: minimum. a < 0 ise maksimum. f'(x) = (x − c)² eˣ örneğinde ise eˣ pozitif olduğu ve kare işaret değiştirmediği için c'de ekstremum yoktur.

Rasyonel türevlerde hem pay hem payda işaretini ve f'in tanım kümesini koruyun. Trigonometrik türevlerde seçilen inceleme aralığındaki bütün sıfırları bulun. Bir grafiğin ya da birkaç tablo değerinin, gösterilmeyen aralık hakkında tek başına işaret kanıtı oluşturduğunu varsaymayın.

İkinci türev testi ve kapalı aralık yöntemi

f'(c) = 0 ve ikinci türev testinin koşulları sağlanıyorsa f''(c) > 0 minimumu, f''(c) < 0 maksimumu gösterir. f''(c) = 0 olduğunda test sonuç vermez. x⁴ için 0 minimumdur; x³ için 0 ekstremum değildir. Her ikisinde de ikinci türev 0'dır.

Kapalı aralıkta sürekli bir fonksiyon mutlak maksimum ve minimum alır. Uç noktalar ile içerideki bütün kritik adayların fonksiyon değerlerini karşılaştırın. Bir adayın yerel ekstremum olmadığını bilmek, değerini hesaplamayı atlamak için gerekli bir adım değildir; bütün adayları listelemek yöntemi düzenli tutar. Süreksiz ya da açık aralıkta aynı varlık garantisini kullanmayın.

Sıkça sorulan sorular

Kaynak: College Board, AP Calculus AB ve BC ders çerçevesi.