AP Calculus higher-order derivatives

Yüksek mertebeden türev, bir önceki türev fonksiyonunun yeniden türevidir; ilk türevin kuvveti değildir. Her aşamada değişkeni, tanım aralığını ve türevin varlığını koruyun. Bu AP Calculus rehberi, özgün bileşke ve çarpım örneklerinde ikinci, üçüncü ve dördüncü türevi hesaplar; nokta verileriyle fonksiyon bilgisini ve değişim hızlarının birimlerini ayırır.

Yüksek türev yalnız BC konusu değildir

College Board çerçevesinin 3.6 konusu yüksek mertebeden türev hesabını AB ve BC'nin ortak kapsamında verir. İkinci türev, f′'ün türevi mevcutsa bulunur; işlem aynı varlık kontrolüyle daha yüksek mertebelere tekrarlanır. Üçüncü veya dördüncü türevi yalnız BC'ye aitmiş gibi dışlamayın.

BC'de Taylor ve Maclaurin gibi ek konuların bu türevleri kullanması ayrı bir kapsam bilgisidir. Bu yazının amacı bir Taylor katsayı veya kalan hesabını baştan kurmak değil, istenen türev sırasını doğru üretmektir. Soru yalnız ikinci türevi istiyorsa gereksiz yere bütün yüksek türevleri hesaplamanız gerekmez.

Notasyon hangi işlemi anlatıyor?

y=f(x) için f″(x)=d²y/dx², f‴(x)=d³y/dx³ ve f⁽⁴⁾(x)=d⁴y/dx⁴ aynı türev sırası fikrini farklı gösterimlerle taşır. f⁽⁴⁾ dördüncü türevdir; [f(x)]⁴ fonksiyon değerinin dördüncü kuvvetidir. Bir sayı üzerinde “iki kare” işlemi yaparak ikinci türev elde edilmez.

Ardışık türev hesabında her satırın girdisi önceki türev fonksiyonudur. Örneğin f″(a)'nın sayısal değerini bulduktan sonra bu sayıyı sabit diye türevleyip f‴(a)=0 yazamazsınız. Sonraki türev, f″ fonksiyonunun a çevresinde nasıl değiştiğini gerektirir.

Bileşke fonksiyonda ikinci aşama yeni kurallar gerektirir

Yayımlanmış bir AP sorusu olmayan özgün p(x)=(x²+1)³ modelini ele alalım. İlk türev zincir kuralıyla p′(x)=6x(x²+1)² olur. İkinci aşamada bu ifade iki çarpanın çarpımıdır; yalnız son parantezi türevlemek yeterli değildir.

Çarpım ve zincir kuralları birlikte p″(x)=6(x²+1)²+24x²(x²+1) verir. Açınca p″(x)=30x⁴+36x²+6 olur. Buradan p‴(x)=120x³+72x elde edilir. x=1'de ikinci türev 72, üçüncü türev 192'dir.

Bağımsız bir cebir kontrolü olarak p(x)=x⁶+3x⁴+3x²+1 açılımını türevleyebilirsiniz. Aynı p″ ve p‴ ifadelerine ulaşılır. Bileşkeyi açmak burada hesap kontrolünü kolaylaştırır; her fonksiyonda bütün ifadeyi açmanın daha uygun yöntem olduğunu varsaymayın.

Çarpımda her mertebede iki katkıyı koruyun

Başka bir özgün model q(x)=xe^2x olsun. İlk türev q′(x)=e^2x(1+2x), ikinci türev q″(x)=e^2x(4+4x) olur. Her satırda hem üstel çarpan hem onunla çarpılan ifade türevlenir.

Üçüncü ve dördüncü türevler q‴(x)=e^2x(12+8x) ve q⁽⁴⁾(x)=e^2x(32+16x)'tir. Sıfırdaki değerler sırasıyla 12 ve 32 olur. Yalnız e^2x'in her türevde 2 katına çıktığını izleyip x çarpanının katkısını atlamak bu sayıları yanlış verir.

Terimleri gruplayarak kontrol etmek, her mertebede hangi çarpanın değiştiğini görmenizi sağlar. Sayısal sonucun yanında q‴(0) veya q⁽⁴⁾(0) yazın; aynı “12” farklı bir türev sırasının veya farklı noktanın cevabı olabilir.

Tanım aralığı türev ilerledikçe kaybolmaz

r(x)=ln(x−1) için gerçek tanım aralığı x>1'dir. Bu aralıkta r′(x)=1/(x−1), r″(x)=−1/(x−1)², r‴(x)=2/(x−1)³ ve r⁽⁴⁾(x)=−6/(x−1)⁴ olur. x=2'de değerler 1, −1, 2 ve −6'dır.

Türev ifadelerinin cebirsel biçimleri x<1'de de sayı üretebilir; bu, özgün logaritma fonksiyonunun o bölgede tanımlı olduğu anlamına gelmez. Türevin gerçek fonksiyona ait tanım aralığını, ayrı bir rasyonel ifade gibi genişletmeyin.

u(x)=(x²−9)/(x−3) ise x≠3 koşuluyla x+3'e sadeleşir. Özgün tanım aralığında u′=1, u″=0 ve daha yüksek türevler sıfırdır. Fakat x=3'te özgün u tanımlı değildir; o noktada u″(3)=0 yazamazsınız. Boşluğu doldurarak yeni bir fonksiyon tanımlarsanız bu ayrıca belirtilmiş bir değişiklik olur.

İki türev bulunması üçüncüsünü garanti etmez

w(x)=|x|³ örneğinde x≥0 için w=x³, x<0 için w=−x³'tür. İlk türev w′(x)=3x|x|, ikinci türev w″(x)=6|x| olur; bu iki ifade sıfırda da geçerlidir. w′(0)=w″(0)=0 bulunur.

Üçüncü türev sıfırın solunda −6, sağında +6'dır. w″'ün sıfırdaki fark oranı 6|h|/h iki tarafta farklı sonuç verdiğinden w‴(0) yoktur. “Fonksiyonun türevi var” bilgisinden bütün mertebelerde türevlenebilirlik çıkaramayız.

Bu kontrol yalnız parçalı ifadeler için değildir. Her mertebede önceki fonksiyonun ilgili noktada türevlenebilir olması gerekir. Tanımlı bir fonksiyon değeri, o noktada birinci veya daha yüksek türevin varlığının yerine geçmez.

Hareket modelinde mertebe ve birim birlikte değişir

Özgün bir konum modeli s(t)=1+4t−2t²+t³/3 olsun; t saniye, s metre cinsindendir. Katsayılar bu birimleri sağlayacak biçimde verilmiştir. s′(t)=4−4t+t² m/s, s″(t)=−4+2t m/s² ve s‴(t)=2 m/s³ olur.

t=2'de hız ve ivme sıfırdır; üçüncü türev sıfır değildir. Bu tek an, cismin sonraki bütün zamanlarda duracağını göstermez. Hız (t−2)² olduğundan iki tarafta da pozitiftir. Burada üçüncü türevi fiziksel bir değişim oranı olarak yorumluyoruz; bu özel terimi bütün AP görevlerinde zorunlu bir isimlendirme gibi kullanmayın.

Bir noktadaki veri sonraki mertebeyi belirlemeyebilir

Özgün iki model a(x)=x² ve b(x)=x²+x³, sıfırda aynı a′(0)=b′(0)=0 ve a″(0)=b″(0)=2 değerlerini paylaşır. Ancak a‴(0)=0, b‴(0)=6'dır. Bir tabloda yalnız ilk iki türev değerinin verilmesi üçüncüyü otomatik olarak bulmaya yetmez.

Benzer biçimde birkaç f″ değerinden hesaplanan sekant eğimi, uygun koşullarda f‴ için bir tahmin olabilir; verilmiş kesin türev değeri değildir. Sorunun formül, grafik, tablo veya türevlenebilirlik hakkında sağladığı bilgiye göre sonucu kesin ya da yaklaşık yazın.

FRQ'da işlemi mertebesiyle gösterin

İstenen mertebeyi ve değişkeni belirleyin; her türev fonksiyonunu sırayla yazıp gerekli kuralları yeniden uygulayın. Nokta değerini, o mertebedeki ifade hazır olduğunda hesaplayın. Model bağlamı varsa birimleri her zaman türevindeki bağımsız değişkene göre dönüştürün.

Bu sıranın her satırı için değişmez bir puan veya yüksek türev soruları için sabit bir puan aralığı yoktur. Sorunun gerçek hesap ve yorum isteği ile yayımlanmış değerlendirme kılavuzunu birlikte okuyun. Temel işlemleri türev kuralları rehberinde, değişkenler arasındaki hız bağını ilişkili değişim hızları rehberinde inceleyebilirsiniz. Ortak kapsam AP Calculus AB, ek BC başlıkları AP Calculus BC sayfasındadır.

Sıkça sorulan sorular