AP Calculus İntegralde Değişken Değiştirme

Değişken değiştirme, zincir kuralını integral yönünde kullanır. İntegrandda bir iç fonksiyon ile onun türevinin çarpanı bulunduğunda ifadeyi daha basit bir değişkenle yazabilirsiniz. Yöntemin önemli adımı yalnızca u'yu seçmek değil, katsayıları, diferansiyeli ve belirli integralin sınırlarını aynı değişkenle tutmaktır.

Zincir kuralının tersi

F'(u) = f(u) ise [F(g(x))]' = f(g(x))g'(x). Bu nedenle uygun aralıkta ∫f(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + C. u = g(x), du = g'(x) dx yazımı bu eşleşmeyi görünür kılar.

∫2x cos(x²) dx için u = x² ve du = 2x dx: ∫cos u du = sin u + C = sin(x²) + C. ∫6x cos(x²) dx örneğinde ise 6x dx = 3 du olduğundan sonuç 3 sin(x²) + C'dir. Katsayı farkı bir sabit olarak korunur.

İç fonksiyon nasıl seçilir?

Logaritmalı örnekte x = −2/3 dışlanır ve çözüm aralığı bu noktadan geçmez. Kök örneğinde du = 2x dx nedeniyle integralin önünde 1/2 bulunur; ardından ∫√u du = (2/3)u^(3/2) uygulanır.

Bir iç ifade görmek tek başına yeterli değildir. ∫sin(x²) dx içinde x²'nin türevi olan 2x çarpanı yoktur; basitçe u = x² yazıp dx'i du sayamazsınız. Bu integralin elementer bir antitürevi yoktur. Buna karşılık ∫sin²x cos x dx için u = sin x seçimi doğrudan sonuç verir: sin³x/3 + C.

Belirli integralde iki doğru yol

I = ∫₀² x(x² + 1)³ dx olsun. u = x² + 1, du = 2x dx; x = 0 için u = 1, x = 2 için u = 5. I = (1/2)∫₁⁵ u³ du = (5⁴ − 1⁴)/8 = 78.

İkinci yol antitürevi x'e geri çevirmektir: I = [(x² + 1)⁴/8]₀² = 78. u cinsinden antitüreve x sınırlarını yerleştirmek ise bu iki yolu karıştırır. Bir belirli integralin sonunda +C yoktur; aynı sabit sınır farkında yok olur.

Sınırlar ve katsayılar için üç örnek

• ∫₀¹ 2x e^(x²) dx = ∫₀¹ eᵘ du = e − 1. Bu örnekte yeni sınırlar sayısal olarak aynı kalır; yöntemin genel kuralı bu değildir.
• ∫₀¹ 6x(x² + 1)² dx = 3∫₁² u² du = 7.
• ∫₀² 4x³(x⁴ + 5)³ dx = ∫₅²¹ u³ du = (21⁴ − 5⁴)/4 = 48.464. Başta 6x³ olsaydı sonuç bunun 3/2 katı olurdu.

Yeni alt ve üst sınır u'nun başlangıç ve bitiş değerleridir. Azalan bir dönüşüm bunları ters sıraya getirebilir; integrali tanımlı tutarak işareti koruyun. Örneğin u = −x ile ∫₀¹ e^(−x) dx = −∫₀⁻¹ eᵘ du = 1 − e⁻¹ olur.

Logaritma ve birden fazla katman

∫(ln x)/x dx için x > 0 üzerinde u = ln x, du = dx/x. Sonuç (ln x)²/2 + C'dir. ∫cos(sin x) cos x dx için u = sin x ile sin(sin x) + C bulunur.

Bir dönüşümden sonra ikinci bir yöntem gerekebilir. ∫x e^(x²) dx tek değişken değiştirmeyle (1/2)e^(x²) + C olur; ∫x³ e^(x²) dx içinse u = x², x³ dx = (u/2) du. Kalan (1/2)∫u eᵘ du parçalı integral ister ve sonuç (1/2)(x² − 1)e^(x²) + C'dir. Parçalı integral, Calculus BC ek konusudur; değişken değiştirme AB ve BC'de bulunur.

Doğrulama ve yazım sırası

1. u'yu ve du'yu açıkça yazın.
2. İntegrali tamamen u cinsine çevirin; dönüştürülmemiş x veya dx bırakmayın.
3. Belirli integralde sınırları değiştirin veya antitürevi x'e geri koyarak özgün sınırları kullanın.
4. Sonucu türevleyin: başlangıç integrandı ve bütün katsayıları geri gelmeli.

Belirli integrallerde ayrıca işaret ve büyüklük kontrolü yapın. Pozitif integrandın a < b aralığındaki integrali negatif çıkıyorsa sınır sırası veya işlem hatası arayın. Bir sayısal tabloyla verilen ifadede yöntem tam değer yerine yaklaşık integral verebilir; sorunun hangi bilgiyi sağladığını ayırın.

Sıkça sorulan sorular

Kaynak: College Board, AP Calculus AB ve BC ders çerçevesi.