AP Calculus Hareket: Konum, Hız ve İvme

Düz çizgide hareketi incelerken konum, hız ve ivme aynı hareketin farklı özelliklerini anlatır. Hızın işareti yönü, hızın mutlak değeri sürati, hızın değişimi ise ivmeyi verir. Türev ile integral arasında hangi yönde ilerleyeceğinizi belirlemek ve başlangıç değerini korumak, grafik ve formül sorularının ortak çözüm yoludur.

Konum, hız, ivme ve birimler

s(t) konum, v(t) = s'(t) hız ve a(t) = v'(t) = s''(t) ivmedir. Konum metre ve zaman saniyeyle ölçülürse hız m/s, ivme m/s² birimindedir. Ters yönde v(t) = v(t₀) + ∫t₀ᵗ a(u) du, s(t) = s(t₀) + ∫t₀ᵗ v(u) du kullanılır. Bir başlangıç değeri olmadan integral yalnızca değişimi verir.

v > 0 pozitif yönde, v < 0 negatif yönde hareket demektir. v = 0 bir durma anıdır; yön değişimi olduğunu söylemek için iki taraftaki hız işaretini inceleyin. v(t) = (t − 1)² örneğinde hız 1'de sıfır olur ama işaret değiştirmez.

Hızlanma ve yavaşlama için iki işaret gerekir

v ≠ 0 ve gerekli türevler bulunduğunda sürat |v|'nin türevi v'nin işareti ile a'nın çarpımıdır. v ile a aynı işaretteyse sürat artar; ters işaretteyse azalır. Yalnızca a > 0 demek, parçacığın mutlaka hızlandığı anlamına gelmez.

v = 0 anında süratin türevi bulunmayabilir. Açık aralıklar için hızlanma yorumunu kurup durma anlarını ayrıca belirtmek daha açıktır.

Kübik konum örneği

s(t) = t³ − 6t² + 9t + 2, t ≥ 0 olsun; s metre, t saniye cinsindedir. v(t) = 3(t − 1)(t − 3), a(t) = 6(t − 2). Durma anları 1 ve 3, ivmenin sıfırı 2'dir.

1'de v pozitiften negatife geçtiği için konum yerel maksimum, s(1) = 6'dır. 3'te v negatiften pozitife geçtiği için konum yerel minimum, s(3) = 2'dir. Bu kararlar konumun ekstremumlarına aittir; hız fonksiyonunun ekstremumlarını ayrıca incelersiniz.

v, 2'de yerel minimum alır: v(2) = −3 m/s. Fakat sürat |v(2)| = 3 m/s, geri hareket edilen [1, 3] bölümünün en büyük süratidir. 2 en yavaş an değildir; sürat 1 ve 3'te sıfırdır.

Yer değiştirme ile toplam yol

[0, 5] üzerinde s(0) = 2, s(1) = 6, s(3) = 2, s(5) = 22. Yer değiştirme ∫₀⁵ v(t) dt = s(5) − s(0) = 20 m'dir. Toplam yol, hareket parçalarının uzunluklarının toplamıdır: |6 − 2| + |2 − 6| + |22 − 2| = 4 + 4 + 20 = 28 m.

Aynı hesap ∫₀¹ v(t) dt − ∫₁³ v(t) dt + ∫₃⁵ v(t) dt ile yapılır. Son net integrale mutlak değer uygulamak genel olarak toplam yolu vermez; ters yöndeki hareketler net değişimde birbirini götürür.

Ortalama hız 20/5 = 4 m/s, ortalama sürat 28/5 = 5,6 m/s'dir. İki büyüklüğün birimi aynı, anlamı farklıdır. Toplam yol, yer değiştirmenin mutlak değerine eşit veya daha büyüktür.

Hız verilmişse konuma dönün

v(t) = t² − 4t + 3 ve s(0) = 0 için s(t) = t³/3 − 2t² + 3t. [0, 6] üzerinde yer değiştirme 18 m, ortalama hız 3 m/s olur. Hız 1 ve 3'te işaret değiştirir; s(1) = 4/3, s(3) = 0 olduğundan toplam yol 4/3 + 4/3 + 18 = 62/3 m'dir.

İvme verilirse önce başlangıç hızıyla v'yi, sonra başlangıç konumuyla s'yi bulun. İki integral için iki başlangıç bilgisi gerekebilir. Başlangıç konumunu sıfır varsaymak yalnızca soru bunu veriyorsa doğrudur.

Grafikte ne okunur?

Konum grafiğinin eğimi hızı, hız grafiğinin eğimi ivmeyi verir. Hız grafiğinin zaman ekseninin üstünde veya altında kalması yönü gösterir. Hız-zaman grafiğiyle eksen arasındaki işaretli integral yer değiştirme, parçaların pozitif alanlarının toplamı yoldur. İvme-zaman grafiğinin integrali ise hızdaki değişimi verir.

Bir tabloyla sol, sağ veya orta nokta toplamı kullanılıyorsa bulunan değer bir yaklaşım olabilir. Zaman aralıklarını ayrı genişliklerle çarpın; eşit aralık varsaymayın. Hesap makinesi kullanımı ve yuvarlama, sorunun ilgili bölüm yönergesine göre belirlenir.

Çözüm kontrolü

Verilen niceliği ve isteneni yazın; sonra türev mi integral mi gerektiğini belirleyin. Yön değişimi için v'nin sıfırlarını ve işaretlerini, hızlanma için v ile a'yı birlikte inceleyin. Sonuçta birimi ve “konum”, “yer değiştirme”, “toplam yol”, “ortalama hız” ayrımını koruyun. Sabit bir puan getirisi veya her soru için aynı çözüm süresi varsaymayın.

Sıkça sorulan sorular

Kaynak: College Board, AP Calculus AB ve BC ders çerçevesi.