AP Calculus Trigonometrik Türevler: Altı Kural

Trigonometrik türevlerde doğru formül, açı birimi ve iç fonksiyonun türevi birlikte düşünülür. Sinüs ile kosinüsün yanında tanjant, kotanjant, sekant ve kosekantı da aynı iki temel fonksiyondan türetebilirsiniz. Bu yazı altı kuralı bir araya getirir; zincir, çarpım ve bölüm kurallarıyla birleşen örneklerde işaretleri ve tanım koşullarını gösterir.

Altı temel türev ve tanım koşulları

Aşağıdaki kurallarda x radyan cinsindendir. sec x = 1/cos x, csc x = 1/sin x ve cot x = cos x/sin x olarak tanımlanır. Fonksiyonun tanımsız olduğu bir noktada bu türev ifadelerini kullanamazsınız.

College Board'un Calculus AB ve BC çerçevesindeki 2.7 ve 2.10 konuları bu türevleri kapsar. cot, sec ve csc türevleri yalnızca BC'ye ait değildir. Formülleri bir soru için sabit puan getirisiyle eşleştirmek yerine, verilen ifadenin hangi kuralları gerektirdiğini belirleyin.

İşaretleri bölüm kuralından kontrol edin

Tanjant için tan x = sin x/cos x yazın. Bölüm kuralı (cos² x + sin² x)/cos² x = 1/cos² x = sec² x verir. Paydanın türevinin −sin x olması, paydaki ikinci terimin pozitif olmasını sağlar.

Sekantta aynı işaret denetimi daha kısa görünür: (1/cos x)' = −(cos x)⁻²(−sin x) = sin x/cos² x = sec x tan x. İki negatif işaret birbirini götürür; sonuçta başta eksi yoktur. Kosekant içinse (1/sin x)' = −cos x/sin² x = −csc x cot x olur.

Zincir kuralı: dış türevden sonra iç türev

u = u(x) türevlenebilir olduğunda sin u'nun türevi cos u · u', tan u'nun türevi sec² u · u' olur. İç fonksiyonun türevini bulmadan işlemi bitirmeyin.

• f(x) = sin(x²) için f'(x) = 2x cos(x²).
• g(x) = cos(3x − 1) için g'(x) = −3 sin(3x − 1).
• h(x) = sec(3x) için h'(x) = 3 sec(3x) tan(3x); cos(3x) ≠ 0.
• p(x) = csc(5x) için p'(x) = −5 csc(5x) cot(5x); sin(5x) ≠ 0.
• q(x) = tan(x²) için q'(x) = 2x sec²(x²); cos(x²) ≠ 0.

İki katmanlı bir örnekte f(x) = sin(cos(2x)) olsun. Dış sinüsün türevi cos(cos(2x)), orta kosinüsün türevi −sin(2x), iç 2x'in türevi 2'dir. Sonuç f'(x) = −2 cos(cos(2x)) sin(2x) olur. Parantezler hangi açının hangi fonksiyona ait olduğunu korur.

Çarpım ve bölüm içeren örnekler

f(x) = x² sin(3x) için önce çarpım kuralını kurun: f'(x) = 2x sin(3x) + 3x² cos(3x). Yalnızca sin(3x)'in türevini almak, x²'nin değişimini kaybettirir.

g(x) = x² sec x için g'(x) = 2x sec x + x² sec x tan x olur. Burada sekant türevinin pozitif işareti her iki terimin de her noktada pozitif olduğu anlamına gelmez; fonksiyon değerlerinin işaretleri ayrıca incelenir.

h(x) = tan x/x için h'(x) = [x sec² x − tan x]/x². Bu örnekte hem x ≠ 0 hem cos x ≠ 0 gerekir.

p(x) = sin x/(1 + cos x) için bölüm kuralı [cos x(1 + cos x) + sin² x]/(1 + cos x)² verir. sin² x + cos² x = 1 kullanınca p'(x) = 1/(1 + cos x) elde edilir. Sadeleştirme, özgün paydanın sıfır olduğu x = (2k + 1)π noktalarını tanım kümesine eklemez.

Tablo ve teğet sorularında hangi değer kullanılır?

F(x) = sec(g(x)) olsun. g(a) = π/3 ve g'(a) = 2 verildiğinde F'(a) = sec(π/3) tan(π/3) · 2 = 4√3 olur. Dış fonksiyon a'da değil, g(a)'da değerlendirilir.

y = sin x eğrisinin x = π/3 noktasındaki teğeti için y değeri √3/2, eğim cos(π/3) = 1/2'dir. Teğet denklemi y − √3/2 = (1/2)(x − π/3) olur. Bir türev değeri ile bir fonksiyon değerinin görevleri burada ayrılır.

Radyan, ters fonksiyon ve başlangıç koşulu

Derece cinsinden bir değişken ayrı ölçek gerektirir. f(d) = sin(πd/180) ise f'(d) = (π/180) cos(πd/180). Radyan formülünü derece değişkenine doğrudan uygulamak bu çarpanı kaybettirir.

sec x, cos x'in çarpmaya göre tersidir; arccos x ise kosinüsün seçilmiş dalının ters fonksiyonudur. Aynı işlemi anlatmazlar. Örneğin (arcsin x)' = 1/√(1 − x²), −1 < x < 1; (arctan x)' = 1/(1 + x²) olur.

dy/dx = sec² x ve y(0) = 2 verildiyse, 0'ı içeren (−π/2, π/2) aralığında y = tan x + C bulunur. Başlangıç koşulundan C = 2 çıkar. Çözüm aralığı tanjantın tanımsız olduğu noktalardan geçemez.

Sıkça sorulan sorular

Kaynak: College Board, AP Calculus AB ve BC ders çerçevesi.