AP Calculus: Türev, Teğet ve Normal Doğrusu

Bir eğrinin x = a noktasındaki teğetini bulmak için eğrinin üzerindeki (a, f(a)) noktasını ve sonlu türev varsa f′(a) eğimini kullanın. Normal doğru sorulursa diklik koşulunu ayrıca uygulayın. Bu AP Calculus rehberi, özgün örneklerle nokta, eğim, yaklaşım ve türevin varlık koşulunu birbirinden ayırır.

Teğet denklemi nokta ve eğimi birlikte ister

f, bir iç nokta a'da türevlenebilir olduğunda teğet doğrusu y − f(a) = f′(a)(x − a) biçiminde yazılır. Buradaki f(a) eğrinin yüksekliği, f′(a) ise yerel eğimidir. İki değeri aynı sanmak veya yalnız türevi yazıp doğru denklemini tamamlamamak farklı bir cevap üretir.

Güncel College Board AP Calculus çerçevesinin 2.1–2.4 konuları fark oranını, türevin gösterimlerini ve türevlenebilirliğin süreklilikle ilişkisini açıklar. Bu yazının örnekleri özgündür; sabit FRQ puanları veya her yıl aynı sayıda teğet sorusu çıktığı iddiası değildir. Normal doğruyu yalnız soru istediğinde ele alıyoruz.

Özgün kübik örnek: doğru noktayı türevin yanına koyun

f(x) = x³ − 2x + 1 için x = 2 noktasındaki teğeti bulalım. Önce f(2) = 8 − 4 + 1 = 5, ardından f′(x) = 3x² − 2 ve f′(2) = 10 hesaplanır. Teğet denklemi y − 5 = 10(x − 2), yani y = 10x − 15 olur.

Sonucu x = 2 yerine koyarak denetleyin: doğru y = 5 verir, eğrinin noktasıyla eşleşir. y − 10 = 5(x − 2) yazmak ise nokta ile eğimi yer değiştirmiştir. Bir soru (2, 6) gibi bir nokta öneriyorsa bu noktanın f üzerinde olup olmadığını önce kontrol edin; x = 2'deki teğetin geçeceği nokta (2, 5)'tir. Dışarıdaki bir noktadan eğriye çizilebilecek başka teğetler farklı bir sorudur.

Fark oranı aynı eğimi nasıl doğrular?

Tanımdan [f(2 + h) − f(2)]/h yazılır; h ≠ 0 olmalıdır. Kübik açılımıyla f(2 + h) − 5 = 10h + 6h² + h³ bulunur. h'ye bölününce fark oranı 10 + 6h + h² olur. h sıfıra yaklaşırken bu ifade 10'a gider; bu, hesapladığımız f′(2)'yi doğrular.

Tablodaki sayılar türevin kendisi değildir; farklı sıfırdan uzak h değerlerinin ortalama değişimleridir. Tam sonuç limitten gelir. Fark oranına baştan h = 0 koymak 0/0 üretir; bu, türev değerinin sıfır olduğu anlamına gelmez. Önce tanımın sıfırdan farklı h aralığındaki ifadesini inceleyin.

Normal doğruda eğimi hangi koşulla ters çevirirsiniz?

Normal doğru, ilgili noktada teğete diktir. Standart dik Kartezyen eksenlerde sonlu ve sıfırdan farklı teğet eğimi m ise normalin eğimi −1/m olur. Kübik örnekte m = 10 olduğundan normal denklemi y − 5 = −(1/10)(x − 2)'dir. İki doğrunun eğimleri çarpımı −1, ortak noktaları (2, 5)'tir.

“Eğimi ters çevir” işlemini koşulsuz uygulamayın. Teğet yataysa normal düşeydir ve y = mx + b biçiminde sonlu bir eğimi yoktur. Örneğin g(x) = x³ için x = 0'da g(0) = 0, g′(0) = 0'dır. Teğet y = 0, normal x = 0 olur. −1/0 hesabı bir doğru denklemi değildir.

Düşey teğet ile köşe aynı durum değildir

h(x) = ∛x için x = 0'da fark oranı ∛t/t = 1/|t|^(2/3) olur. t sıfıra yaklaşırken sınırsız büyür; sonlu bir türev değeri yoktur. Eğri geometrik olarak düşey teğet x = 0'a sahiptir; buna dik geometrik normal y = 0'dır. “f′(0) = ∞” ifadesini sıradan gerçek sayılı türev değeri gibi kullanmayın.

k(x) = |x| için ise 0'da soldan fark oranı −1, sağdan +1'dir. Burada tek bir teğet eğimi yoktur; süreklilik tek başına teğet formülünü haklı çıkarmaz. Düşey teğetteki ortak düşey doğrultu ile köşedeki iki ayrı doğrultu farklıdır. Sürekliliğin koşulları süreklilik ve tanım kümesi rehberindedir.

Teğet doğru yerel yaklaşım verir, bütün eğriyi değiştirmez

Kübik örnekte x = 2,02 için teğet y = 10(2,02) − 15 = 5,20 verir. Gerçek değer f(2,02) = 5,202408'dir. Aradaki fark 0,002408 olur. Bu, 2 noktasının yakınında bir yaklaşım örneğidir; doğruyla eğrinin bütün değerlerde eşit olduğu iddiası değildir.

Genel x = 2 + h için eğriyle teğetin farkı 6h² + h³'tür. h = 0,20 seçilirse fark 0,248'e çıkar. Yakınlık ve hata koşulunu incelemeden “teğetle her değeri doğru hesaplarız” demeyin. Türevin yerel anlamı, kullanılan değişimin ölçeğiyle birlikte okunmalıdır.

Bir başka yanlış genelleme de teğetin eğriyle yalnız bir noktada kesişebileceğidir. Aynı y = 10x − 15 doğrusu, bu kübikle x = −4'te de kesişir: iki değer de −55'tir. Doğrunun x = 2'deki teğet özelliği, başka yerde kesişmesini engellemez.

Son cevabınızı üç ayrı denetimle tamamlayın

Önce doğru üzerindeki noktanın f(a)'ya uyduğunu, sonra eğimin f′(a) olduğunu kontrol edin. Normal istendiyse yatay ve düşey özel durumları ayırın; türev yoksa sonlu eğim formülünü zorlamayın. Grafikte bir doğru görmek kadar, neden o noktada ve o eğimde olduğunu açıklamak önemlidir. Öğretmenle çalışma için AP Calculus AB kursu ve özel ders programını inceleyebilirsiniz.

Sıkça sorulan sorular