AP Physics C E&M: RC, RL ve LC Devreleri

RC, RL ve LC devrelerinde aynı anahtar hareketi farklı büyüklüklerin değişimini başlatır. Kapasitör elektrik alanında, indüktör manyetik alanda enerji depolar; direnç enerjiyi ısıya dönüştürür. Bir formül seçmeden önce yeni bağlantıyı, başlangıç değerini, akım yönünü ve uzun zaman sınırını yazmak gerekir.

Başlangıçta ne süreklidir?

İdeal kapasitörde i = C dv_C/dt, ideal sabit indüktörde v_L = L di/dt. Sonlu akım varsa kapasitör gerilimi, sonlu gerilim varsa indüktör akımı aniden sıçramaz. Bunlar ideal modelin koşullarıdır; impulsif kaynakları veya tamamen açık anahtarın parazit davranışını aynı formülle çözmezsiniz.

Bir devre anahtarlanırken q(0⁺) = q(0⁻) ve i_L(0⁺) = i_L(0⁻) bilgilerini uygun standart modelde taşıyın. Bütün direnç akımlarının veya bütün eleman gerilimlerinin aynı biçimde sürekli olduğu sonucu çıkmaz. Yeni akım yolları Kirchhoff denklemlerini değiştirebilir.

RC şarjı: başlangıç gerilimi her zaman sıfır değildir

Sabit kaynak gerilimi ℰ ile seri R ve C için R dq/dt + q/C = ℰ. τ_RC = RC. Başlangıç kapasitör gerilimi V₀ ise v_C(t) = ℰ + (V₀ − ℰ)e^(−t/RC), akımın seçilen şarj yönündeki değeri i(t) = [(ℰ − V₀)/R]e^(−t/RC).

Boş kapasitörde V₀ = 0: q = Cℰ(1 − e^(−t/RC)), i = (ℰ/R)e^(−t/RC). Kapasitör gerilimi artarken akım azalır. t = τ anında son gerilimin yaklaşık %63,2'sine ulaşılır; kalan fark başlangıç farkının yaklaşık %36,8'idir.

R = 2 kΩ, C = 100 μF, ℰ = 10 V için τ = 0,2 s. Başlangıç akımı 5 mA, son yük 1 mC. t = 0,2 s anında v_C ≈ 6,32 V ve i ≈ 1,84 mA. kΩ ve μF ön eklerini saniye hesabında koruyun.

RC boşalması ve işaret

Kaynak ayrılmış, R üzerinden kapalı boşalma yolu varsa q(t) = q₀e^(−t/RC), v_C = V₀e^(−t/RC). i = dq/dt olarak önceki şarj yönüyle tanımlandıysa i = −(V₀/R)e^(−t/RC). Boşalma yönünü pozitif seçerseniz büyüklüğü aynı, işareti pozitiftir.

U_C = q²/(2C) = (1/2)Cv_C² olduğundan enerji e^(−2t/RC) ile azalır. Enerjinin zaman sabiti RC/2'dir; geriliminki RC. İdeal kaynak içermeyen bu boşalmada dirençte harcanan toplam enerji başlangıçtaki kapasitör enerjisidir.

RL devresinde genel başlangıç akımı

Sabit ℰ, seri R ve L için L di/dt + Ri = ℰ, τ_RL = L/R. i(0) = I₀ verildiğinde i(t) = ℰ/R + (I₀ − ℰ/R)e^(−tR/L). Sıfır başlangıç için i = (ℰ/R)(1 − e^(−tR/L)).

ℰ = 12 V, R = 6 Ω, L = 0,3 H için τ = 0,05 s, son akım 2 A. Bir zaman sabitinde i ≈ 1,264 A. Başlangıçta v_L = 12 V, uzun zamanda v_L = 0; v_R = Ri aynı sırada 0'dan 12 V'a yükselir.

İdeal DC kararlı durumda indüktörün gerilimi sıfır olduğu için kısa devre gibi modellenmesi, her an kısa devre olduğu anlamına gelmez. Sıfır başlangıç akımı da her indüktörün her anahtarlamada sıfır akımla başladığı anlamına gelmez.

RL boşalmasında gerçek kapalı yol

Kaynak ayrılırken bobin ve toplam R_b dirençli kapalı yol korunursa i(t) = I₀e^(−tR_b/L). R_b yeni bağlantının direncidir. Anahtar değişince farklı direnç devrede kalıyorsa eski L/R zaman sabiti kullanılmaz.

U_L = (1/2)Li²; i = I₀e^(−t/τ) için U_L = U₀e^(−2t/τ). Direnç gücü i²R_b ile enerji azalma hızı birbirini dengeler. Yol tamamen açık bırakılırsa standart üstel çözümün varsayımı yoktur; ideal olmayan elemanları veya anahtar modelini belirtmek gerekir.

LC devresi: yön ve başlangıç koşulları

İdeal dirençsiz, kaynaksız LC devresinde bir plakanın yükünü q, seçilen akımı i = dq/dt olarak tanımlayın. L q'' + q/C = 0; ω = 1/√(LC), periyot T = 2π√(LC). Genel çözüm q(t) = q₀cos(ωt) + (I₀/ω)sin(ωt), i(t) = −ωq₀sin(ωt) + I₀cos(ωt).

q₀ = Q₀, I₀ = 0 için başlangıç enerjisi yalnız kapasitördedir. t = T/4 anında q = 0, |i| = ωQ₀ ve enerji bobindedir. Bu işaret seçiminde i(T/4) negatiftir; akımı boşalma yönünde tanımlarsanız işareti ters olur. Bir yön tanımını yazmadan sinüsün işaretini fiziksel hata sanmayın.

L = 0,5 H, C = 2 μF için ω = 1000 rad/s ve T ≈ 6,283 ms. Q₀ = 10 μC ise I_max = 10 mA, toplam enerji Q₀²/(2C) = 25 μJ. Bobindeki en büyük enerji (1/2)LI_max² ile aynı çıkar.

Enerji korunumu ve RLC ek modeli

İdeal LC'de U = q²/(2C) + (1/2)Li² sabittir. Gerçek kayıplar varsa salınım genliği azalabilir. Seri RLC'nin kaynaksız ek modeli Lq'' + Rq' + q/C = 0 ile bu durumu açıklar; bu bölüm bir model karşılaştırmasıdır, her AP sorusunda bu çözümün beklendiği iddiası değildir.

α = R/(2L), ω₀ = 1/√(LC). α < ω₀ ise sönümlü salınımın açısal frekansı ω_d = √(ω₀² − α²); α = ω₀ kritik sönüm, α > ω₀ aşırı sönümdür. Salınımlı çözümün zarfı e^(−αt) olur. Enerji türevi dU/dt = −Ri² olduğundan kaynaksız modelde direnç toplam enerjiyi azaltır.

Karşılaştırma ve grafik kontrolü

Üstel azalma sonlu bir zamanda tam sıfıra ulaşmaz; uzun zaman sınırına yaklaşır. t = 0, t → ∞ ve boyut kontrolü yanlış çözümü hızlıca gösterir. CED'deki temel devre modellerine ek bir örnek kullanıldığında kapsamı ayrıca belirtin; sabit soru sıklığı, puan kaybı veya hazırlık kazancı vaat etmeyin.

Sıkça sorulan sorular

Kaynak: College Board, AP Physics C: Electricity and Magnetism ders çerçevesi.