AP Calculus İki Eğri ve Eksen Arasındaki Alan

Geometrik alan negatif değildir; belirli integral ise eğrilerin sırasına göre işaretli bir fark verir. İki eğri arasındaki alanla eğri ve eksen arasındaki alanı aynı temel yöntemle bulabilirsiniz: bölgeyi tanımlayın, kesişimleri ve sınırları belirleyin, her parçada hangi eğrinin üstte ya da sağda olduğunu denetleyin.

Dikey ve yatay dilimler

x'e göre dikey dilimde A = ∫aᵇ [üst(x) − alt(x)] dx. Eğriler birden fazla kez yer değiştiriyorsa aralık bu kesişimlerde parçalanır. Eşdeğer biçim A = ∫aᵇ |f(x) − g(x)| dx'dir; mutlak değeri çözmek için yine işaret analizi gerekebilir.

y'ye göre yatay dilimde A = ∫cᵈ [sağ(y) − sol(y)] dy. x = g(y) yazımı bir ipucu olabilir, fakat tek başına zorunlu yöntem değildir. Dilim yönünü, bölgenin sınırlarının daha kolay ve eksiksiz yazıldığı biçime göre seçin. Alan birimi uzunluk biriminin karesidir.

İki parabol/doğru eğrisi ve birden fazla bölüm

y = x² ile y = x'in kendi aralarında kapattığı bölgenin kesişimleri x² = x'ten 0 ve 1'dir. [0, 1] üzerinde x üstte, x² altta: A = ∫₀¹(x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6.

Soru ayrıca −1 ≤ x ≤ 2 derse sınır çizgileri de bölgeye katılır. x² − x'in işareti (−1, 0), (0, 1), (1, 2) parçalarında sırasıyla +, −, + olur. Alanlar 5/6, 1/6 ve 5/6; toplam 11/6'dır. Özgün eğrilerin kendi kapalı bölgesiyle ek dikey sınırların tanımladığı bütün alanı karıştırmayın.

İntegrand x² − x ise antitürevi x³/3 − x²/2'dir. İntegrandın kendisini “sadeleştirme” gerekçesiyle (x² − x)/2'ye dönüştürmek doğru değildir; cebirsel eşitlik ile integral alma ayrı işlemlerdir.

Eğri ile x ekseni arasında işaret değişimi

f(x) = x³ − 4x için [−2, 2] üzerinde kökler −2, 0 ve 2'dir. İçteki işaret değişimi 0'da olur: (−2, 0) üzerinde f pozitif, (0, 2) üzerinde negatiftir. A = ∫₋₂⁰ f(x) dx − ∫₀² f(x) dx = 4 + 4 = 8.

İşaretli integral ∫₋₂² f(x) dx = 0'dır; bu, alanın sıfır olduğu anlamına gelmez. Bir negatif bölge integralini tek başına pozitif alan diye adlandırmayın. Önce ∫|f| veya parça işaretleriyle alan ifadesini kurun.

∫₋₃³ |x² − 4| dx için −2 ve 2'de parçalayın. Dış bölgelerin her biri 7/3, orta bölge 32/3 verir; toplam 46/3'tür. Mutlak değerin içindeki köklerle fonksiyonun başka sınır ve tanım koşullarını birlikte kontrol edin.

Sinüs ve kosinüs arasında toplam alan

[0, 2π] üzerinde sin x = cos x kesişimleri π/4 ve 5π/4'tür. Sırasıyla cos − sin, sin − cos, cos − sin integrandlarını kullanın:

• ∫₀^(π/4)(cos x − sin x) dx = √2 − 1.
• ∫_(π/4)^(5π/4)(sin x − cos x) dx = 2√2.
• ∫_(5π/4)^(2π)(cos x − sin x) dx = √2 + 1.

Toplam alan 4√2'dir. İlk ve son bölümleri eşit sanmak yanlıştır; uç değerlerin antitürevleri farklıdır. Tam bir periyotta işaretli sin−cos integrali sıfır olsa bile, pozitif geometrik alan sıfır olmaz.

Yatay dilim ve eksen alanı

x = y² ile x = 2y arasında kesişimler y = 0 ve y = 2'dir. Sağ sınır 2y, sol sınır y² olduğundan A = ∫₀²(2y − y²) dy = 4/3. y değerleriyle kurulan sınırları dx integraline yerleştirmeyin.

Eğri ile y ekseni arasında, örneğin x = y² ve 0 ≤ y ≤ 2 için A = ∫₀² y² dy = 8/3. x = g(y) işaret değiştiriyorsa eksene uzaklık |g(y)| ile hesaplanır. Ek sınırlar olmadan bir bölgenin kapalı ve sonlu olup olmadığını ayrıca denetleyin.

Tanım kümesi ve sonlu bölge kontrolü

y = 1/x ile y = x kesişimleri ±1'dir, fakat 1/x, 0'da tanımsızdır. Bu iki kesişimi otomatik olarak tek kapalı ve sonlu bölgenin sınırı saymayın; 0 çevresindeki alan integrali uygunsuzdur ve ıraksar. Bir denklem çözümündeki kökleri kullanmadan önce fonksiyonların tanım kümesini ve bölgenin geometrisini kontrol edin.

Grafik veya tablo verildiğinde bütün kesişimlerin sayısal olarak bilinmesi gerekmez; soru yeterli sınır veya sıralama bilgisi sağlayabilir. Bir tabloyla yaklaşım yapılacaksa her dilimin genişliği ve alan farkı eşleşmelidir. Sonlu örneklerden gösterilmeyen bir kesişimin olmadığı sonucu çıkarılmaz.

BC bağlantıları ve son kontrol

Parametrik bir eğride uygun tekil olmayan aralıkta ∫y(t)x'(t) dt işaretli alanı hesaplar; geometrik alan için izleme yönü ve işaret korunmalıdır. Kutup koordinatlarında bir bölgenin alanı (1/2)∫r(θ)² dθ ile kurulabilir; seçilen aralık bölgeyi bir kez izlemelidir. Bu ek durumları dikey üst-alt formülüne koşulsuz dönüştürmeyin.

Son kontrolde kesişimleri, ek sınır çizgilerini, dilim yönünü, her parçadaki sıralamayı ve birimi gözden geçirin. Sonucun pozitif olması tek başına bütün bölgenin alındığını kanıtlamaz. Soruya özel gerekçe kullanın; aynı işlem adımı için evrensel sabit puan kaybı iddia etmeyin.

Sıkça sorulan sorular

Kaynak: College Board, AP Calculus AB ve BC ders çerçevesi.