AP Calculus BC: Kısmi İntegrasyon Örnekleri

Kısmi integrasyonda amaç, bir çarpımın integralini daha kolay hesaplanan başka bir integrale dönüştürmektir. Önce u ve dv seçimini gerekçelendirin, sonra yeni ifadeyi ve varsa sınırları hesaplayın. Bu AP Calculus BC rehberi, özgün üstel, trigonometrik ve logaritmik örneklerle yöntemi seçmeyi ve cevabı türevle kontrol etmeyi anlatır.

Kısmi integrasyon BC kapsamında neyi karşılar?

College Board'un güncel ders çerçevesinde Topic 6.11, integration by parts ile belirsiz ve belirli integral hesaplamayı BC konusu olarak gösterir. Aynı ünitedeki yöntem seçimi de önemlidir: bir ifadede çarpım görmek, doğrudan bu yönteme geçmek için yeterli değildir.

Bu rehberdeki örnekler öğretim için hazırlanmıştır; yayımlanmış AP soruları veya puanlama anahtarları değildir. Bir çözüm adımına her soruda aynı puan verildiğini, konunun belirli bir FRQ numarasında çıkacağını veya belli bir sürede tamamlanması gerektiğini varsaymayın. Gerçek sınav sorusunu değerlendirirken o sorunun resmî açıklamasını kullanın.

Formülü çarpımın türevinden kurun

u ve v'nin ilgili aralıkta sürekli türevleri olduğunu düşünelim. Çarpım kuralı d(uv) = u dv + v du verir. Terimleri düzenleyip integral alınca ∫u dv = uv − ∫v du elde edilir. Formüldeki eksi işareti bu düzenlemeden gelir; yalnız ezberlenecek bir süs değildir. OpenStax'ın yöntem açıklaması aynı ilişkiyi ve sonucun türevle kontrolünü gösterir.

u bir fonksiyon, du onun diferansiyeli; dv ise integralini alarak v'yi bulacağınız parçadır. Örneğin dv = e^3x dx yazdığınızda v = e^3x/3 seçebilirsiniz. u, du, dv ve v'yi birbirinin yerine yazmak, özellikle dx'in nerede bulunduğunu belirsizleştirir.

Yöntemi seçmeden önce integrandı inceleyin

İfade	İlk değerlendirme	Gerekçe
∫x e^3x dx	u = x, dv = e^3x dx	x'in türevi sadeleşir; üstel parçanın integrali bilinir.
∫ln x dx, x > 0	u = ln x, dv = dx	Görünmeyen çarpan 1 alınabilir; x·(1/x) sadeleşir.
∫2x/(x² + 1) dx	Önce değişken değiştirmeyi inceleyin.	Pay, paydanın türevidir; u = x² + 1 doğrudan uygundur.
∫(5x + 1)/((x − 1)(x + 2)) dx	Kısmi kesirlere ayırmayı inceleyin.	Farklı doğrusal çarpanlar daha basit rasyonel terimler sağlar.

LIATE gibi hatırlatıcılar bir başlangıç seçeneği sunabilir; her integral için tek doğru sıralama veya resmî puanlama koşulu değildir. Seçtiğiniz dv'nin integralini alabiliyor musunuz? Oluşan ∫v du önceki integralden daha yönetilebilir mi? Bu iki soruya cevap verin. Farklı bir seçim matematiksel olarak geçerli olup hesabı uzatabilir.

Özgün üstel örnek: zincir katsayısını koruyun

∫x e^3x dx için u = x ve dv = e^3x dx seçelim. Böylece du = dx ve v = e^3x/3 olur. Formüle yerleştirince x e^3x/3 − ∫e^3x/3 dx, ardından e^3x(x/3 − 1/9) + C bulunur.

Kontrol için sonucu türevleyin. Çarpım kuralı 3e^3x(x/3 − 1/9) + e^3x/3 = x e^3x verir. v'yi yanlışlıkla e^3x yazmak, ilk integral alma adımındaki 1/3 katsayısını kaybettirir. Son satırın görünüşüne güvenmek yerine bu kontrolle hatanın yerini bulun.

v için bir ters türev seçmeniz yeterlidir; sabitini sıfır almak hesabı kısaltır. Başka sabitli bir v seçimi tek başına matematik hatası değildir: formülde oluşan ek terimler birbirini götürür. Belirsiz integralin genel sonucunda C bulunur. Buradan “v'ye sabit yazmak otomatik puan kaybettirir” sonucu çıkarılmaz.

Belirli integral: iki terimde de sınır vardır

Aynı örneğin 0 ile 1 arasındaki integrali için ∫₀¹ u dv = [uv]₀¹ − ∫₀¹ v du kullanılır. Sınırlar hem uv çarpımının değerlendirilmesinde hem kalan belirli integralde korunur. Yalnız ilk terime sınır yerleştirip ikinciyi belirsiz bırakmayın.

F(x) = e^3x(x/3 − 1/9) seçilirse F(1) = 2e³/9 ve F(0) = −1/9'dur. Sonuç F(1) − F(0) = (2e³ + 1)/9 olur. Alt sınırdaki negatif değeri çıkarmak artı 1/9 getirir. Sayısal bir kontrol isterseniz sonuç yaklaşık 4,575'tir; yaklaşık değeri tam ifadenin yerine zorunlu olarak koymanız gerekmez.

Bu aralıkta x e^3x negatif değildir; pozitif sonuç beklemek yararlı bir işaret kontrolüdür. Ancak işaret kontrolü tam hesabın doğruluğunu tek başına kanıtlamaz. Belirli integral sonucu bir sayıdır; genel integral ailesindeki C terimleri F(1) − F(0) içinde birbirini götürür.

Trigonometrik örnek: son işareti türev belirlesin

Özgün öğretim sorusu: ∫x cos(3x) dx için hangi ifade bir ters türevdir? Seçeneklerde ortak C yazılmamıştır.

x sin(3x)/3 − cos(3x)/9
x sin(3x)/3 + cos(3x)/9
3x sin(3x) + 3cos(3x)
x cos(3x)/3 + sin(3x)/9

Cevap B. u = x, dv = cos(3x) dx seçilince v = sin(3x)/3 olur. Kalan terim −⅓∫sin(3x) dx olduğundan sonuçta +cos(3x)/9 bulunur. B'nin türevi sin(3x)/3 + x cos(3x) − sin(3x)/3 = x cos(3x)'tir. A'da sinüs terimleri götürülmez; C'de katsayılar, D'de trigonometrik tür ve işaretler hedef integrandı vermez.

Tek başına logaritma ve çalışma sonrası kontrol

x > 0 için ∫ln x dx ifadesini ∫(ln x)·1 dx olarak okuyun. u = ln x, dv = dx seçimi du = dx/x, v = x verir. Sonuç x ln x − ∫1 dx = x ln x − x + C'dir. Türevi ln x + 1 − 1 = ln x olur; 1/x'in x ile sadeleşmesini açıkça gösterin.

Örneğin 1 ile e arasındaki integralde F(e) = 0, F(1) = −1 olduğundan sonuç 1'dir. Alt sınır 0 verilseydi ln 0 yazıp devam edemezdiniz; uçtaki tanımsızlık için uygun limit hesabı gerekir. Yöntem seçimi, tanım kümesini ve sınır koşullarını kontrol etmenin yerini almaz.

Çalışmanızda önce seçimi, sonra diferansiyel ve ters türevleri, ardından yeni integrali ve son kontrolü görünür kılın. Tekrar uygulama veya tablo düzeni bazı integrallerde işe yarayabilir; bunlar her soru için zorunlu bir cevap biçimi değildir. Rasyonel ifadeler için kısmi kesirlerle integral rehberine, ders desteği için AP Calculus BC kursuna bakabilirsiniz.

Sıkça sorulan sorular

u ve dv seçiminin her zaman tek doğru yolu mu vardır?

Hayır. Birden fazla geçerli seçim olabilir. dv'nin integralinin alınabilmesini ve kalan integralin daha kolay olup olmadığını değerlendirin; bir hatırlatıcıyı her soruda zorunlu sıralama saymayın.

Belirli integralde kalan integrale de sınır yazılır mı?

Evet. ∫ₐᵇ u dv = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du biçiminde sınırlar korunur. Son aşamada alt sınırdaki değeri işaretiyle birlikte çıkarın.

v hesabında sabit yazmak her durumda hata mı?

Bir ters türev seçerken sabiti sıfır almak kolaylık sağlar. Başka bir sabit seçimi tek başına hata değildir; formüldeki ek katkılar birbirini götürür. Belirsiz integralin genel cevabında C bulunur.

Kısmi integrasyon adımlarının sabit bir AP puanı var mı?

Bu rehber bir genel puan anahtarı değildir. Gerçek sorunun istediği çıktıyı ve o soru için yayımlanan resmî değerlendirme açıklamasını kullanın; her satıra değişmez puan vermeyin.