AP Calculus BC: Kısmi Kesirlerle İntegral

Kısmi kesirlerle integralde önce paydayı çarpanlarına ayırın, sonra katsayıları bulup her terimin integralini alın. AP Calculus BC'nin ilgili konusu farklı doğrusal çarpanlarla çalışır. Bu rehber, özgün katsayı, ölçek ve belirli integral örnekleriyle cebir adımını, logaritmanın tanım aralığını ve sonucu kontrol etmeyi birleştirir.

BC kapsamında paydayı doğru okuyun

College Board'un güncel ders çerçevesinde Topic 6.12, rasyonel ifadelerin doğrusal ve yinelenmeyen çarpanlara göre ayrıştırılmasını; bu yöntemle belirsiz ve belirli integral hesaplamayı BC konusu olarak gösterir. Paydanın yapısını incelemeden her rasyonel ifadeye aynı kalıbı uygulamayın.

Genel kısmi kesir yöntemi, tekrarlanan çarpanlar ve gerçek doğrusal çarpanlara ayrılamayan ikinci dereceden ifadeler için de genişletilebilir. Bunların daha kapsamlı kitaplarda bulunması, hepsinin Topic 6.12'nin aynı gerekliliği olduğu anlamına gelmez. Buradaki ana örnekler farklı doğrusal çarpanlarla seçildi; gerçek AP sorusu veya sabit puan anahtarı olarak sunulmuyor.

Özgün örnek: önce bir cebir özdeşliği kurun

(5x + 1)/((x − 1)(x + 2)) için A/(x − 1) + B/(x + 2) yazalım. Ortak paydaya dönünce pay A(x + 2) + B(x − 1) olur. İstenen özdeşlik 5x + 1 = (A + B)x + (2A − B)'dir. Bu yüzden A + B = 5 ve 2A − B = 1 birlikte sağlanmalıdır.

İki denklemden A = 2, B = 3 bulunur. Ayrışım 2/(x − 1) + 3/(x + 2)'dir. Kontrolü ortak paydada yapın: 2(x + 2) + 3(x − 1) = 5x + 1. Yalnız katsayıların toplamını kontrol etmek sabit terimdeki hatayı kaçırabilir.

Alternatif olarak paydaları temizledikten sonra oluşan polinom özdeşliğinde x = 1 veya x = −2 kullanabilirsiniz. Bu, başlangıçtaki tanımsız rasyonel ifadeye değer vermek değildir; artık polinom özdeşliğinin katsayılarını belirliyorsunuz. Asıl fonksiyonun x = 1 ve x = −2 noktalarındaki kısıtları devam eder.

Logaritma ve tanım aralığını birlikte yazın

Örneğin integrali 2ln|x − 1| + 3ln|x + 2| + C olur. Her terimin türevi sırasıyla 2/(x − 1) ve 3/(x + 2)'dir; ortak payda ilk ifadeyi geri verir. OpenStax'ın kısmi kesir açıklaması da cebirsel ayrışımı temel integral kurallarıyla birleştirir.

Fonksiyonun aralıkları (−∞, −2), (−2, 1) ve (1, ∞) olarak ayrılır. Sonucu bir aralıkta kullanırken mutlak değer, logaritmanın gerçek değerli olmasını sağlar. Bu ayrık aralıklardaki genel ters türev ailelerinin sabitleri birbirinden bağımsız olabilir; kutupların üzerinden tek bir sürekli fonksiyon varmış gibi geçmeyin.

Sadece x > 1 aralığında çalışıyorsanız iki çarpan da pozitiftir ve mutlak değerleri o aralık için kaldırabilirsiniz. Buna karşılık bütün tanım kümesini anlatırken ln(x − 1) yazmak negatif çarpanlı aralıkları dışarıda bırakır. Bu farkı otomatik bir yarım puan kuralı diye değil, fonksiyonun nerede tanımlı olduğu üzerinden açıklayın.

Belirli integral: sınırları yerleştirmeden kutupları kontrol edin

Aynı fonksiyonun 2 ile 3 arasındaki integralinde payda sıfır olmaz. F(3) = 2ln2 + 3ln5 ve F(2) = 3ln4 olduğundan sonuç 2ln2 + 3ln(5/4)'tür. Yaklaşık değer 2,056'dır. İntegrand bu aralıkta pozitiftir; pozitif sonuç bir işaret kontrolü sağlar, tek başına tüm hesabı doğrulamaz.

Benzer görünen her sınır çifti bu kadar doğrudan değerlendirilemez. Özgün karşı örnekte ∫₀² 1/(x − 1) dx için ln|2 − 1| − ln|0 − 1| yazıp 0 bulmak geçerli değildir. x = 1 aralık içindedir ve integrand orada tanımsız, sınırsızdır.

Bu uygunsuz integral, 1'in iki tarafında ayrı limitlerle incelenir. Soldaki integral −∞'ye, sağdaki +∞'ye gider; iki taraf da yakınsamadığı için sıradan uygunsuz integralin sonlu değeri yoktur. Karşılıklı sonsuzları birbirinden çıkararak yakınsama ilan etmeyin. Kısmi kesir yöntemi, bu limit gerekliliğini ortadan kaldırmaz.

Doğrusal çarpanın baş katsayısı 1 değilse

İkinci özgün örnek (3x + 1)/((2x − 1)(x + 1)) olsun. A/(2x − 1) + B/(x + 1) yazınca 3x + 1 = A(x + 1) + B(2x − 1), dolayısıyla A + 2B = 3 ve A − B = 1 elde edilir. Çözüm A = 5/3, B = 2/3'tür.

İntegral (5/6)ln|2x − 1| + (2/3)ln|x + 1| + C olur. İlk katsayının 5/3 yerine 5/6 olması önemlidir: ln|2x − 1|'in türevi 2/(2x − 1) olduğundan integral alırken 1/2 çarpanı gerekir. Türev kontrolünde (5/6)·2 = 5/3 geri gelmelidir.

Genel olarak a ≠ 0 için ∫A/(ax + b) dx = (A/a)ln|ax + b| + C'dir; ifade paydanın sıfır olmadığı aralıkta kullanılır. Her doğrusal çarpanı x − a biçimindeymiş gibi okumak bu ölçek katsayısını kaybettirir. Katsayı çözümünü doğru bulmak, integral alma adımının da kendiliğinden doğru olduğu anlamına gelmez.

Payın derecesi büyükse önce bölme

Özgün üçüncü örnekte (x² + 2x + 3)/((x − 1)(x + 2)) verilmiş olsun. Payda x² + x − 2'dir. Polinom bölmesiyle ifade 1 + (x + 5)/((x − 1)(x + 2)) olur. İlk 1 terimini kaybetmeden kalan uygun rasyonel ifadeyi ayırın.

Kalan terim 2/(x − 1) − 1/(x + 2)'dir; çünkü 2(x + 2) − (x − 1) = x + 5. Tam integral böylece x + 2ln|x − 1| − ln|x + 2| + C olur. İlk x teriminin türevi 1'dir; yalnız logaritmaları yazmak başlangıçtaki fonksiyonu geri vermez. Polinom bölmesi ile kısmi kesir adımları farklı işleri yapar.

Özgün seçim sorusu: işareti ortak paydada sınayın

Yalnız (x + 5)/((x − 1)(x + 2)) için doğru ayrışım hangisidir? Sorunun amacı katsayı ve işaret kontrolüdür; resmî soru güçlüğü veya puanı iddia edilmez.

1. 1/(x − 1) + 5/(x + 2)
2. 2/(x − 1) + 1/(x + 2)
3. 2/(x − 1) − 1/(x + 2)
4. −2/(x − 1) + 1/(x + 2)

Cevap C. Ortak payda üzerinde C'nin payı x + 5 olur. A'nın payı 6x − 3, B'ninki 3x + 3, D'ninki −x − 5'tir. Tek bir uygun x değerinde sonuçları karşılaştırmak bir hatayı yakalayabilir; fakat özdeşliği göstermek için payları cebirsel olarak eşitleyin. Kutuplarda başlangıçtaki ifadeye değer vermeyin.

Çözümü adımları sayarak değil, bağıntıları kontrol ederek inceleyin

Bu tablo çalışma kontrolüdür; her satırın değişmez AP puanı yoktur. Soru yalnız bir ayrışım istiyorsa gereksiz bir integral hesabı eklemek yerine istenen eşitliği gösterin. Bir integral istiyorsa katsayıları bulduktan sonra durmayın. Başka çarpım integralleri için kısmi integrasyon rehberine, program için AP Calculus BC kursuna geçebilirsiniz.

Sıkça sorulan sorular