AP Calculus BC: Polar Alan ve Açı Aralığı

Polar alan hesabında ½∫r² dθ formülünden önce hangi bölgenin hangi açı aralığında bir kez tarandığını belirleyin. Bu rehberdeki iki diskin ortak bölgesinde her ışındaki küçük pozitif yarıçap kullanılır; iki sınır arasındaki alan için ise dış ve iç yarıçapların kare farkı gerekir. Kesişim açısı, tarama aralığı ve istenen bölge aynı karar değildir.

Polar koordinatlarda alan, AP Calculus BC’nin 9.8 ve 9.9 konularındadır. Bu yazının örnekleri özgündür. Bir çözüm kalıbının her soruda aynı puanı getireceği veya her eğrinin 0 ile 2π arasında yalnız bir kez çizileceği varsayılmıyor.

Formül hangi alanı topluyor?

Küçük bir açı dilimindeki sektör alanı yaklaşık ½r²Δθ’dır; limitte ½∫ₐᵇ[r(θ)]² dθ elde edilir. Formül, seçilen aralıkta taranan alanı çokluklarıyla sayabilir. Amaç geometrik bölgenin alanıysa aynı parçayı tekrar taramayan sınırlar seçmelisiniz.

Açıları radyan cinsinden kullanın. r bir uzunluksa alan uzunluğun karesi birimindedir. İntegralin başındaki ½, sektör alanından gelir; daire alanındaki π yerine ayrıca bir π çarpanı koymayın. π, gerekiyorsa açı sınırlarından ve integral hesabından ortaya çıkar.

Özgün örnek 1: bir çemberi iki kez saymayın

r = 4 cos θ eğrisinde x = r cos θ, y = r sin θ yazılır. r² = 4r cos θ bağıntısı x² + y² = 4x, yani (x − 2)² + y² = 4 çemberini verir. Merkez (2,0), yarıçap 2’dir; alanın 4π olması beklenir.

−π/2 ≤ θ ≤ π/2 aralığında r ≥ 0’dır ve çember bir kez çizilir. Alan A = ½∫₋π/₂^π/₂16 cos²θ dθ = 8∫₋π/₂^π/₂cos²θ dθ = 4π olur. cos²θ = (1 + cos 2θ)/2 bağıntısıyla hesaplayabilirsiniz.

Aynı ifadeyi 0 ile 2π arasında entegre etmek 8π verir. Bu çemberin büyümesi değildir: x = 4 cos²θ ve y = 4 sin θ cos θ koordinatları π kadar açı değişiminde tekrar eder. Seçilen uzun aralık çemberi iki kez tarar. r’nin negatif olduğu kısım da yeni bir çember oluşturmaz.

Negatif yarıçap, negatif alan demek değildir

r = −2, θ = π/6 noktası Kartezyen düzlemde (−√3, −1)’dir. Aynı nokta r = 2, θ = 7π/6 ile de gösterilir. Negatif r, ışının ters yönüne gitmek demektir. r² kullanılması alan katkısını negatif yapmaz; fakat çizilen parçanın hangi yönde olduğunu bilmeden sınır seçmek yine hatalı olabilir.

Bu nedenle “r₁(θ) = r₂(θ) denkleminin bütün köklerini buldum, bütün geometrik kesişimleri de buldum” sonucuna hemen varmayın. Aynı nokta farklı açı ve yarıçap gösterimleriyle üretilebilir. Kutup, yani r = 0 noktası ve negatif yarıçapla çizilen parçalar ayrıca kontrol edilir.

Özgün örnek 2: döndürülmüş gül eğrisinde tek yaprak

r = 5 sin(2θ − π/3) için π/6 ≤ θ ≤ 2π/3 aralığında yarıçap sıfırdan başlar, pozitif olur ve yeniden sıfıra döner. θ = 5π/12’de r = 5’tir; bu aralık döndürülmüş tek yaprağı çizer. Alan ½∫π/₆^2π/₃25 sin²(2θ − π/3) dθ = 25π/8 olur.

Burada sin²(2θ − π/3) = [1 − cos(4θ − 2π/3)]/2 kullanılır. Yaprak, açı kayması nedeniyle 0’dan başlamaz. Dört eş yaprağın tamamı istenseydi alan 4·25π/8 = 25π/2 olurdu. Simetri çarpanını ancak hangi parça için integral aldığınızı belirledikten sonra kullanın. Zaten dört yaprağı kapsayan integrali yeniden dörtle çarpmayın.

Özgün örnek 3: iki diskin ortak bölgesi

r₁ = 3 ve r₂ = 6 cos θ eğrilerinin iç bölgelerinin kesişimini bulalım. İlki merkezde yarıçapı 3 olan disk, ikincisi merkezi (3,0), yarıçapı 3 olan disktir. İkinci disk, pozitif yarıçapla −π/2 ≤ θ ≤ π/2 ışınlarında görülür. Bu örnekte bu aralıkta negatif yarıçap gösterimi kullanmamız gerekmez.

Sınırlar 3 = 6 cos θ, yani θ = ±π/3 noktalarında yer değiştirir. |θ| < π/3 için 6 cos θ daha büyük olduğundan ortak bölgenin dış sınırı 3’tür. π/3 < |θ| ≤ π/2 için ise küçük sınır 6 cos θ olur. Ortak bölge iki diskin de içinde kalmalıdır; her ışında yarıçapların büyüğünü almak birleşime doğru gider.

x eksenine göre simetriden A = 2·½[∫₀^π/₃9 dθ + ∫π/₃^π/₂36 cos²θ dθ] yazılır. İlk integral 3π, ikincisi 3π − 9√3/2 olduğundan toplam ortak alan 6π − 9√3/2’dir. Simetri çarpanı ile sektör formülündeki ½ birbirini götürür; bu iptali başta veya sonda tutarlı biçimde yapın.

Ortak alan yerine iki sınır arasını sorarsa

Aynı iki eğride, sağdaki diskin içinde fakat merkezdeki diskin dışında kalan bölge farklı bir istektir. Bu bölge yalnız −π/3 ≤ θ ≤ π/3 aralığındadır ve yarıçapı 3’ten 6 cos θ’ya uzanır. Alan ½∫₋π/₃^π/₃[(6 cos θ)² − 9] dθ = 3π + 9√3/2 olur.

Bu sonuç ile ortak alanın toplamı sağdaki diskin alanı 9π’yi verir. Böyle bir bütün-parça kontrolü, hangi bölgeyi hesapladığınızı sınamanıza yardımcı olur. Ortak alan için kare farkını, fark bölgesi için küçük yarıçapın karesini koşulsuz kullanmayın.

Özgün kontrol sorusu

r = 5 sin(2θ − π/3) eğrisinde π/6 ile 2π/3 arasında çizilen tek yaprağın alanı hangisidir? A) 25π/4, B) 25π/8, C) 25π/2, D) 25/8.

Doğru cevap B’dir. A’da sektör katsayısı ½ kaybolmuştur; C bütün dört yaprağın alanıdır; D ise radyan aralığının integralde bıraktığı π çarpanını kaybeder. Sorunun “tek yaprak” koşulu hesabın parçasıdır.

İntegrali yazmadan önce son bakış

En az bir açıdaki noktayı belirleyin, r = 0 noktalarını inceleyin ve bölgenin bir kez tarandığını doğrulayın. İki eğride yarıçap sıralaması değişiyorsa aralığı ayırın. Sonuç alan mı, tek yaprak mı, ortak bölge mi sorusunu başta ve sonda aynı biçimde okuyun.

Polar konuları ders planına yerleştirmek için AP Calculus BC programını inceleyebilirsiniz.

Kaynak kontrolü: 15 Ekim 2026. College Board AP Calculus BC kılavuzu, Konu 9.8–9.9; OpenStax polar alan bölümü. Örnekler çıkmış sınav soruları değildir.

Sık sorulan sorular