AP Calculus: Disk ve Halka Yöntemiyle Hacim

Disk ve halka yönteminde hacmi, dönme eksenine dik kesitlerin alanlarını toplayarak bulursunuz. Önce kesitte boşluk olup olmadığını belirleyin; sonra dış ve iç yarıçapı eksene uzaklık olarak yazın. Halka alanı π(R² − r²)’dir; iki eğri arasındaki uzaklığın karesini almak aynı cismi vermez.

Disk ve halka yöntemleri AP Calculus AB ve BC’de ortak konulardır. Bu rehberin örnekleri özgündür; yöntem seçimine veya çözüm satırlarına değişmez sınav puanları atamaz. Hesaplardan önce bölgenin, eksenin ve kesitin ne olduğunu belirlemeye odaklanır.

İlk karar: kesit hangi yönde?

Yatay bir eksene dik disk veya halka kesiti dikeydir; kalınlığı dx olur. Dikey bir eksene dik kesit yataydır; kalınlığı dy olur. Dolayısıyla seçilen eksen, disk/halka kurulumunda hangi yönde dilim alacağınızı belirler. İntegral sınırlarını da o değişkene göre yazın.

Yarıçap koordinatın kendisi olmak zorunda değildir: eksen y = k ise uzaklık |y − k|, eksen x = h ise |x − h| olur. Dış yarıçap eksenden daha uzaktaki kenara, iç yarıçap boşluğun kenarına gider. Bir kesitin bölgesi eksene kadar doluysa iç yarıçap sıfırdır ve kesit disktir.

Özgün halka örneği: eksen y = −1

0 ≤ x ≤ 2 aralığında, alt sınırı y = 1 ve üst sınırı y = x + 2 olan bölgeyi y = −1 etrafında döndürelim. Dikey kesit, eksenin üstünde kalır; eksenle bölge arasında boşluk vardır. Dış yarıçap R = (x + 2) − (−1) = x + 3; iç yarıçap r = 1 − (−1) = 2’dir.

Kesit alanı A(x) = π[(x + 3)² − 2²] = π(x² + 6x + 5) olur. Hacim V = π∫₀²(x² + 6x + 5) dx = π[x³/3 + 3x² + 5x]₀² = 74π/3 bulunur. Koordinat uzunlukları cm ile ölçülüyorsa sonuç cm³ birimindedir.

Tablo, alanın negatif olmadığını ve hangi iki uzunluğu kullandığınızı kontrol eder. Bu üç değerin ortalamasını aralık uzunluğuyla çarpmak ise kesin hacim hesabı değildir. İntegral, kesit alanının bütün aralıktaki değişimini toplar.

Neden π(R − r)² kullanmıyoruz?

Yukarıdaki kesitte R − r = x + 1, halkanın kalınlığıdır. π(x + 1)² yazarsanız bu kalınlığı yarıçap kabul eden farklı bir disk hesaplamış olursunuz. x = 1’de gerçek halka alanı π(4² − 2²) = 12π iken yanlış ifade 4π verir. İçteki daireyi dıştaki daireden çıkarın; yarıçapları çıkarıp sonra karesini almayın.

Aynı bölge x ekseni etrafında döndürülseydi R = x + 2 ve r = 1 olurdu. Bu kez hacim π∫₀²[(x + 2)² − 1] dx = 50π/3’tür. Bölgenin kendisi aynı kalmasına rağmen dönme ekseni değiştiğinde hacmin değişmesi beklenir. Eski yarıçapları yeni eksene taşımayın.

Dikey eksende yatay kesit kurun

0 ≤ y ≤ 3 aralığında y²/3 ≤ x ≤ 3 bölgesini x = −1 etrafında döndürelim. Yatay kesitte sağ kenar x = 3, sol kenar x = y²/3’tür. Eksene uzaklıklar R = 4 ve r = 1 + y²/3 olur. İki yarıçap da y cinsinden yazıldığı için integral de dy ile alınır.

V = π∫₀³[16 − (1 + y²/3)²] dy = π∫₀³(15 − 2y²/3 − y⁴/9) dy = π[15y − 2y³/9 − y⁵/45]₀³ = 168π/5 elde edilir. y = 3’te iki yarıçap da 4 olduğundan alan sıfıra iner; bölgenin üst uçta daralmasıyla bu sonuç uyumludur.

Eksen bölgenin içinden geçerse boşluk kalmayabilir

0 ≤ x ≤ 3 için −1 ≤ y ≤ 2 dikdörtgenini x ekseni etrafında döndürün. Her dikey parça ekseni keser. Dönüşte eksenden 2 birime kadar bütün uzaklıklar dolduğu için kesit, yarıçapı 2 olan disktir. Alt kenarın eksene uzaklığı 1 diye 1 yarıçaplı bir boşluk çıkarılmaz. Hacim ∫₀³4π dx = 12π’dir.

Daha uzaktaki kenar aralık boyunca değişebilir. Örneğin 0 ≤ x ≤ 2 için −2 ≤ y ≤ x + 1 bölgesi x ekseni etrafında dönerse disk yarıçapı max(2, x + 1) olur. İki uzaklık x = 1’de eşittir. Hacmi π∫₀¹4 dx + π∫₁²(x + 1)² dx = 31π/3 olarak ayırmak gerekir. Bu ayrım eğrilerin kesişmesinden değil, eksene uzaklıkların sıralamasının değişmesinden gelir.

Özgün kontrol sorusu

İlk bölge y = −1 çevresinde döndürülüyor. Doğru hacim integrali hangisidir? A) π∫₀²(x + 1)² dx, B) π∫₀²[(x + 3)² − 4] dx, C) π∫₀²[(x + 2)² − 1] dx, D) π∫₀²[4 − (x + 3)²] dx.

Doğru cevap B’dir. A, halkanın kalınlığını yarıçap yapar; C, yanlışlıkla x eksenini kullanır; D, iç alanı dış alandan çıkarmak yerine tersini yapar. C kendi başına başka bir dönme problemi için anlamlıdır; bu sorudaki eksene ait değildir.

Kurulumun son kontrolü

Bölgeyi ve ekseni etiketleyin; bir temsilî dik kesit seçin. Yarıçapları uzaklık olarak yazın, delik durumunu inceleyin ve R ≥ r ≥ 0 koşulunu kontrol edin. Aynı kesit tanımı bütün aralıkta geçerli değilse integrali bölün. Sınır, değişken ve birimlerin birbiriyle uyumlu olduğunu görmeden yalnız son sayıya güvenmeyin.

Ders kapsamı için AP Calculus AB veya AP Calculus BC sayfasını inceleyebilirsiniz. İntegralin hesaplanma aşamasında yöntem seçimi için integral tekniği rehberine bakın.

Kaynak kontrolü: 15 Ekim 2026. College Board AP Calculus AB and BC kılavuzu, Konu 8.9–8.12; OpenStax kesitlerle hacim, disk ve halka yöntemleri. Örnekler çıkmış sınav soruları değildir.

Sık sorulan sorular