AP Calculus Kesitlerle Hacim: Çözülmüş Örnekler

Bilinen kesitlerle hacim hesabında, tabandaki iki eğri arasındaki uzunluk üç boyutlu cismin bir kesit ölçüsünü verir. Önce bu uzunluğu, sonra kesitin alanını belirler ve alanları kesitlere dik yönde toplarsınız. Kare, dikdörtgen, üçgen ve yarım dairenin aynı taban bölgesinde farklı hacimler vermesi bu adımların neden ayrı olduğunu gösterir.

Uzunluk, alan, hacim sırası

Kesitler x eksenine dikse tabandaki dikey mesafe s(x) = üst(x) − alt(x) ≥ 0'dır. Kesit alanı A(x) yazıldıktan sonra hacim V = ∫aᵇ A(x) dx olur. Kesitler y eksenine dikse yatay mesafe s(y) = sağ(y) − sol(y), hacim V = ∫cᵈ A(y) dy kullanılır.

Uzunluğun birimi cm ise A'nın birimi cm², hacmin birimi cm³'tür. Taban bölgesinin alanını veren ∫s(x) dx, aynı ölçülerle kesitlerden oluşan hacmi vermez. Kesit biçimi mutlaka soruda belirtilmeli; taban bölgesi tek başına üç boyutlu cismi belirlemez.

Kesit biçimine göre alan tablosu

Yarım dairede yarıçap s/2 olduğu için A = (1/2)π(s/2)². Üçgende “taban” sözcüğünden yükseklik tahmin etmeyin. Hipotenüsü s olan ikizkenar dik üçgenin dik kenarları s/√2'dir; alanın s²/4 olması buradan gelir.

Aynı taban bölgesi, dört farklı hacim

Taban y = x ile y = x² arasında, 0 ≤ x ≤ 1 olsun. Bu aralıkta üst eğri x, alt eğri x²; s(x) = x − x². Kare kesitlerde V = ∫₀¹(x − x²)² dx = ∫₀¹(x² − 2x³ + x⁴) dx = 1/3 − 1/2 + 1/5 = 1/30.

• Yüksekliği taban uzunluğunun yarısı olan dikdörtgenlerde V = 1/60.
• Kenar uzunluğu s olan eşkenar üçgenlerde V = √3/120.
• Çapı s olan yarım dairelerde V = π/240.
• Dik kenarı s olan ikizkenar dik üçgenlerde V = 1/60.

Taban uzunluğunun yarısı kadar yüksekliği olan dikdörtgen ile dik kenarı s olan ikizkenar dik üçgenin hacimleri burada 1/60 ile eşittir; bu, şekillerinin aynı olduğu anlamına gelmez. Yükseklik 2s verilirse dikdörtgen alanı 2s² olur; katsayı 4'e çıkarılmaz.

Köklü tabanla yarım daire örneği

Taban y = √x ve y = x² arasında, 0 ≤ x ≤ 1 olsun. √x üstte olduğu için çap s(x) = √x − x²'dir. A(x) = (π/8)(√x − x²)² = (π/8)(x − 2x^(5/2) + x⁴).

V = (π/8)[1/2 − 4/7 + 1/5] = (π/8)(9/70) = 9π/560. Önce çapı yarıçapa çevirmek, π/2 ile π/8 arasındaki karışıklığı önler. İki sınır, eğrilerin kesişiminden gelir; soruda ek sınır çizgileri verilirse onları da koruyun.

Y eksenine dik kesitlerde yatay mesafe

Taban x = y² ve x = 4 − y arasında, ayrıca y = 0 ve y = 1 ile sınırlı olsun. Kesitler y eksenine dik karelerdir. 0 ≤ y ≤ 1 üzerinde sağ sınır 4 − y, sol sınır y²; s(y) = 4 − y − y².

V = ∫₀¹(4 − y − y²)² dy. Doğru açılım 16 − 8y − 7y² + 2y³ + y⁴'tür. Böylece V = 16 − 4 − 7/3 + 1/2 + 1/5 = 311/30. Çapraz terimlerde −8y² ile +y²'nin birleşmesi, y² katsayısını −7 yapar.

Başka bir yatay örnek: x = y ve x = y³ arasında, 0 ≤ y ≤ 1 üzerinde kare kesitler alınırsa V = ∫₀¹(y − y³)² dy = 1/3 − 2/5 + 1/7 = 8/105. Değişkenin adı geometrik yönü ve hangi sınır değerlerinin kullanılacağını belirler.

Disk ve pul yönteminden farkı

Dönel bir cisimde kesitler daire veya pul olabilir; alan A = πR² veya π(R² − r²)'dir. Ancak tabandaki iki eğri arasındaki farkı her zaman bir yarıçap sanamazsınız. Dönme eksenine uzaklık dış ve iç yarıçapları belirler. Örneğin bir kare kesit problemi, açıkça döndürülmedikçe disk yöntemine dönüşmez.

Kontrol listesi

1. Kesitlerin hangi eksene dik olduğunu belirleyin.
2. Taban sınırlarından doğru uzunluğu bulun; eğriler yer değiştiriyorsa aralığı ayırın.
3. Uzunluğun kenar, çap, dik kenar veya hipotenüs olduğunu açıkça yazın.
4. Alanı oluşturduktan sonra doğru değişken ve sınırlarla integral alın.
5. Alanların negatif olmadığını, hacim birimini ve cebirsel açılımı kontrol edin.

Uzunluğu kare almak, yanlış kesit yönünü ya da yanlış yüksekliği düzelten genel bir işlem değildir. Kareli bir ifade tesadüfen pozitif çıksa bile, soruda verilen geometrik ölçülerden türetilmiş olmalıdır. Kesitli hacim Calculus AB ve BC ders çerçevesinde yer alır; her soru için aynı puan dağılımı varsayılmaz.

Sıkça sorulan sorular

Kaynak: College Board, AP Calculus AB ve BC ders çerçevesi.