AP Calculus mesafe ve sürat problemleri

Tek boyutlu harekette yer değiştirme, son konum ile ilk konumun farkıdır; toplam yol ise gidilen bütün parçaların uzunluğunu toplar. İşaretli hızın integrali ilkini, süratin integrali ikincisini verir. Bu rehber, yön değişimlerini doğru ayırmayı, ortalama hız ile ortalama sürati karşılaştırmayı ve konumdan yapılan hesabı integral ile kontrol etmeyi özgün örneklerle açıklıyor.

Konum, hız ve sürat aynı nicelik değildir

Konum s(t), işaretli hız v(t)=s′(t), ivme a(t)=v′(t) olsun. Sürat |v(t)|’dir. [a,b] zaman aralığında yer değiştirme ∫_a^bv(t) dt=s(b)−s(a), toplam yol ∫_a^b|v(t)| dt olur. Toplam yol negatif olamaz; hareketsiz bir parçacık için sıfır olabilir.

College Board’un güncel 8.2 konusu, doğrusal hareketi belirli integralle hem AP Calculus AB hem BC kapsamında ele alır. Bu, BC’ye ait düzlemsel eğri uzunluğu konusundan ayrı bir kapsamdır. Hareketin mutlaka tek bir yönde olduğunu varsaymayın; belirli integralde zıt yönlerdeki hareketler birbirini götürebilir.

Özgün hız modeli: iki kez yön değiştiren parçacık

0≤t≤5 saniye aralığında v(t)=t²−5t+4 m/s olsun; t’nin sayısal değeri saniye cinsindendir. Boyutları açık yazarsak katsayılar sırasıyla 1 m/s³, −5 m/s² ve 4 m/s’dir. Başlangıç konumu s(0)=7 m olsun. v(t)=(t−1)(t−4) ifadesinin sıfırları 1 ve 4’tür; hızın işareti bu noktalarda değişir.

Bir antitürev F(t)=t³/3−5t²/2+4t’dir; verilen birimlerle sonucu metredir. F(0)=0, F(1)=11/6, F(4)=−8/3 ve F(5)=−5/6 bulunur. Dolayısıyla yer değiştirme F(5)−F(0)=−5/6 m’dir. Toplam yol ise 11/6+9/2+11/6=49/6 m, yaklaşık 8,1667 m olur.

Konum fonksiyonu s(t)=7+F(t) olduğundan s(1)=53/6 m, s(4)=13/3 m, s(5)=37/6 m’dir. Konum bütün bu noktalarda pozitiftir; buna rağmen parçacık (1,4) aralığında negatif yönde gider. Yönü, konumun sıfırın üstünde olmasından değil v’nin işaretinden okuyun.

Ortalama hız ile ortalama sürati ayırın

Bu beş saniyelik hareketin ortalama hızı (−5/6)/5=−1/6 m/s, ortalama sürati (49/6)/5=49/30 m/s’dir. İlki yaklaşık −0,1667, ikincisi yaklaşık 1,6333’tür. Başlangıç konumunu değiştirmek bu iki sonucu değiştirmez; konum farkları aynı kalır.

Genel olarak |ortalama hız|≤ortalama sürat eşitsizliği vardır. Hareket yalnız bir yöndeyse büyüklükler eşit olabilir. Parçacık başlayıp aynı noktaya dönerse ortalama hız sıfır olurken ortalama sürat pozitif olabilir. Bu hesapların ortak yapısı fonksiyonun ortalama değeri rehberinde açıklanıyor.

İvme işareti süratin arttığını tek başına söylemez

Aynı modelde a(t)=2t−5 m/s², t’nin sayısal değeri saniye olmak üzere, 2,5 saniyede sıfırdır. O anda v(2,5)=−9/4 m/s olduğundan parçacık durmaz. v≠0 olan noktalarda süratin türevi sign(v)·a’dır: v ve a aynı işaretliyse sürat artar, zıt işaretliyse azalır.

t=1 ve t=4’te v sıfır olur, yön değişir ve |v| grafiği köşe yapar; bu noktalara v≠0 için verilen türev kuralını doğrudan uygulamayın.

Konum verilirse: her yol parçasını ayrı kontrol edin

Ayrı bir modelde, t saniye ve s metre cinsinden sayısal değerleri göstermek üzere s(t)=t³−12t, 0≤t≤4 olsun. v(t)=3t²−12, aralık içinde yalnız t=2’de sıfırdır; bu noktada işaret negatiften pozitife geçer. s(0)=0, s(2)=−16 ve s(4)=16’dır.

Yer değiştirme 16−0=16 m’dir. İlk bölümde 16 m, ikinci bölümde |16−(−16)|=32 m gidildiği için toplam yol 48 m olur. İkinci parçayı 24 m almak konum farkıyla uyuşmaz. Konum değerlerinden toplam yol toplarken, her parçada yönün sabit olduğunu türevle doğrulamak gerekir.

Her hız sıfırı bir yön değişimi midir?

Hayır. Örneğin v(t)=(t−2)² m/s modeli, t saniye cinsinden sayısal değer olmak üzere, [0,4] üzerinde negatif değildir. t=2’de anlık olarak sıfır olur ama iki tarafta işaret pozitiftir. Yön değişmediği için toplam yol ve yer değiştirme aynı integraldir: ∫₀⁴(t−2)² dt=16/3 m. Katsayının boyutu 1 m/s³’tür.

Bu nedenle hızın sıfırlarını bulmak yalnız aday noktaları verir; sonra işaret incelemesi yapın. Hız grafiğindeki yatay eksen kesişimi işaret değiştiriyorsa yön değişir. Grafiğin yalnız eksene değmesi yeterli değildir.

Grafik ve tablo bilgilerinin sınırı

Hız grafiği ile zaman ekseni arasındaki işaretli alan yer değiştirmeyi, alanların büyüklüklerinin toplamı toplam yolu verir. Konum grafiğinin altında kalan alan ise bu niceliklerden biri değildir. Yalnız birkaç konum ölçümü verilmişse aralarda gizli yön değişimleri olabilir; ek bilgi olmadan ardışık farkların mutlak değerleri tam toplam yolu belirlemez.

İvme verilirse önce v(t)=v(a)+∫_a^ta(u) du ile hızı kurun. Konum için yeniden hızın integralini kullanın ve başlangıç konumunu ekleyin. Bunlar art arda tek değişkenli integrallerdir; toplam yolu hesaplarken bulunan hızın işaretini ayrıca incelemek gerekir.

Kısa kontrol sorusu

Bir parçacık aynı doğru üzerinde 3 m ileri, ardından 5 m geri gidiyor. Yer değiştirme ve toplam yol hangisidir? A) 8 m ve −2 m, B) −8 m ve 2 m, C) −2 m ve 8 m, D) 2 m ve 8 m.

Doğru cevap C’dir. Seçilen pozitif yönde yer değiştirme 3−5=−2 m, toplam yol 3+5=8 m olur. İntegral hesabında da işaretli katkılar ile mutlak değerli katkılar aynı ayrımı korur.

Yanıtı teslim etmeden önce

İstenen niceliği belirleyin; hızın sıfırlarını ve aralık içindeki işaretlerini kontrol edin; zaman sınırlarını, başlangıç koşullarını ve birimleri yazın. Toplam yolun |yer değiştirme| değerinden küçük çıkması, hesabı yeniden incelemek için bir işarettir. Her adım için sabit bir puan sözü verilemez; serbest yanıt sorusunun kendi değerlendirme ölçütleri geçerlidir.

Konu hem AP Calculus AB hem AP Calculus BC hazırlığına dahildir. Buradaki örnekler tek boyutludur; düzlemsel hareketin uzunluk hesabıyla aynı formülü varsaymayın.

Sık sorulan sorular

Kaynaklar

Kaynak kontrolü: 15 Ekim 2026 (Türkiye saati). College Board güncel Calculus AB/BC müfredatı, 8.2; OpenStax: net değişim, yer değiştirme ve toplam yol. Örnekler sınavdan alınmamıştır; koşulları belirtilmiş öğretim modelleridir.