AP Calculus BC: Geometrik Seri ve Toplamı

Geometrik seride her terim, önceki terimin aynı r sayısıyla çarpılmasıyla oluşur. Sonsuz toplamı hesaplamadan önce ilk terimi, başlangıç indisini ve |r| < 1 koşulunu belirleyin. Bu AP Calculus BC rehberi, negatif oranlı bir örnekte sonlu toplamı sonsuz toplamdan ayırıyor; indis kaymasını ve bir sıçrama modelindeki çift sayımı açıklıyor.

İlk terim ve oranı ayrı kaydedin

a + ar + ar² + ⋯ biçimindeki geometrik seride ilk terim a, ortak çarpan r'dir. a ≠ 0 ve |r| < 1 ise seri a/(1 − r) değerine yakınsar. “İlk terim” ifadesi formülde yazılı katsayıyı değil, verilen başlangıç indisinde gerçekten elde edilen terimi anlatır. Başlangıç 0, 1 veya başka bir sayı olabilir.

Güncel College Board ders çerçevesi, geometrik serileri Topic 10.2'de BC konusu olarak listeler. Bu sayfadaki bütün sayısal sorular rehber için hazırlanmıştır; geçmiş AP soruları değildir. Bir geometrik seri tanımanın her soruda sabit puan kazandırdığına veya aynı cevap düzeninin bütün FRQ'lara uyduğuna ilişkin iddia taşımıyorlar.

Negatif oranlı özgün örnek

Σₙ₌₀∞ 9(−2/3)ⁿ serisinde ilk terim n = 0 için 9'dur. Sonraki terimler −6, 4 ve −8/3 olarak gelir; ardışık terimleri −2/3 ile çarparsınız. Oranın mutlak değeri 2/3 < 1 olduğundan seri yakınsaktır. Sonsuz toplam 9/[1 − (−2/3)] = 9/(5/3) = 27/5, yani 5,4'tür.

İşaretin değişmesi yakınsaklığı engellemez. Burada karar veren, oranın büyüklüğünün 1'den küçük olmasıdır. Ayrıca mutlak değer serisi 9 + 6 + 4 + ⋯ için oran 2/3'tür ve toplam 27 olur. Asıl seri bu nedenle mutlak yakınsaktır. İşaret değiştiren her yakınsak serinin koşullu yakınsak olduğunu söylemeyin.

Sonlu toplam formülü nereden gelir?

İlk N terimin toplamını S_N = a + ar + ⋯ + arᴺ⁻¹ diye tanımlayın; N pozitif bir tam sayıdır. r ile çarpınca rS_N = ar + ar² + ⋯ + arᴺ olur. İki eşitliği çıkarırsanız (1 − r)S_N = a − arᴺ kalır. r ≠ 1 için S_N = a(1 − rᴺ)/(1 − r) elde edilir. Burada son üs N − 1, formüldeki üs N'dir; N toplanan terim sayısıdır.

Bu sonlu toplam formülünü kullanmak için |r| < 1 gerekmez; r ≠ 1 yeterlidir. Ancak N sonsuza giderken rᴺ'nin sıfıra yaklaşması ve a/(1 − r) sonucuna geçilmesi, |r| < 1 koşuluna dayanır. Sonlu cebirsel eşitliği, yakınsak olmayan sonsuz bir seriye toplam atamak için kullanmayın.

Tablodaki sonlu toplamlar limitin iki tarafında yer alabilir. Örneğin S₄ = 13/3 iken S − S₄ = 27/5 − 13/3 = 16/15'tir. Genel kalan S − S_N = arᴺ/(1 − r), mutlak hata ise |arᴺ/(1 − r)| olur. Negatif r için kalan işareti N'nin tek veya çift olmasına göre değişebilir; hata büyüklüğünü yazarken mutlak değeri koruyun.

Başlangıç indisi değişince ilk terim de değişir

Σₙ₌₂∞ 8(1/4)ⁿ serisinde ilk terim 8 değil, 8(1/4)² = 1/2'dir. Ortak oran 1/4 olduğundan toplam (1/2)/(1 − 1/4) = 2/3 olur. Katsayı 8'i doğrudan a yerine yazmak, aslında n = 0'dan başlayan farklı bir seriyi hesaplar.

Aynı sonucu 0'dan başlayan toplamdan eksik terimleri çıkararak denetleyebilirsiniz: 8/(1 − 1/4) − 8 − 2 = 32/3 − 10 = 2/3. Sıfır olmayan r ve sıfır ya da pozitif tam sayı k için Σₙ₌ₖ∞ arⁿ serisinde ilk terim arᵏ'dir ve |r| < 1 olduğunda toplam arᵏ/(1 − r) olur. Üs n − k biçimindeyse ilk terimin yeniden a olacağını ayrıca kontrol edin.

Sınır durumları: r = 1, −1 ve 0

a ≠ 0 için r = 1 olduğunda kısmi toplam Na'dır; sonlu bir limite yaklaşmaz. r = −1 olduğunda kısmi toplamlar a ve 0 arasında salınır. |r| > 1 olduğunda ise terimler sıfıra gitmez. Bu durumlarda a/(1 − r) ifadesi bir sonsuz seri toplamı vermez; r = −1 için a/2 yazmak da geçerli değildir.

r = 0 için seriyi ilk terim a ve ardından gelen sıfırlar olarak okuyun; toplam a'dır. a = 0 ise bütün terimleri sıfır olan ayrı, önemsiz durum ortaya çıkar ve seri seçilen r'den bağımsız olarak sıfıra yakınsar. Bu yüzden “|r| ≥ 1 ise ıraksaktır” cümlesini sıfır olmayan ilk terim koşuluyla kullanıyoruz.

Uygulama: sıçrayan topun aldığı yol

İdeal bir modelde top 20 metre yükseklikten bırakılıyor ve her yere çarpışından sonra önceki düşüş yüksekliğinin 3/8'ine yükseliyor olsun. İlk düşüş 20 metredir. İlk yükseliş 20·3/8 = 7,5 metre, ikincisi 20·(3/8)² = 2,8125 metredir. Her yükselişin ardından aynı yükseklik kadar düşüş de gerçekleşir.

İlk düşüşü bir kez, bütün sonraki yükselişleri ve onlara karşılık gelen düşüşleri ikişer kez sayın: toplam yol = 20 + 2Σₙ₌₁∞ 20(3/8)ⁿ. İçteki serinin ilk terimi 7,5, oranı 3/8 ve toplamı 7,5/(1 − 3/8) = 12'dir. Toplam yol 20 + 2·12 = 44 metre olur.

Yalnızca 20/(1 − 3/8) = 32 metre yazmak, ilk yüksekliği ve yükseliş yüksekliklerini toplar; topun dönüş yolunu tamamıyla saymaz. İlk iki yükseliş ve onlara karşılık gelen düşüşler bittiğinde alınan yol ise 20 + 2(7,5 + 2,8125) = 40,625 metredir. 44 metre, modelin sonsuz hareket dizisinin limitidir; gerçek topun sonsuza kadar aynı oranda sıçrayacağına ilişkin fiziksel bir iddia değildir.

Özgün soru: kaymış indisli toplam

Σₙ₌₃∞ 12(1/2)ⁿ serisinin toplamı hangisidir?

• A: 24
• B: 12
• C: 3/2
• D: 3

Doğru seçenek D'dir. İlk terim 12(1/2)³ = 3/2, oran 1/2 olduğundan toplam (3/2)/(1 − 1/2) = 3 çıkar. A, başlangıcı n = 0 alır. B, n = 1'den başlayan başka bir serinin toplamıdır. C ise yalnız ilk terimdir; sonsuz toplam değildir.

Son cevaptan önce dört kontrol

İlk iki terimi açıkça yazıp oranı doğrulayın; yakınsaklık için |r| koşulunu belirtin. Formüldeki a'nın gerçek ilk terim olduğundan ve N'nin son indis yerine terim sayısını anlattığından emin olun. Bir model sorusunda da her terimin hangi uzunluğu, miktarı veya değişimi temsil ettiğini açıklayın. Bu kontroller, tek bir ezber cevap şablonundan daha çok bilgi verir.

Yakınsaklığın kısmi toplamlarla tanımı için sonsuz serilere giriş rehberini, ders seçenekleri için AP Calculus BC kursunu inceleyin. Matematiksel kaynak: OpenStax Calculus Volume 2: sonsuz ve geometrik seriler. Kaynak kontrol tarihi: 15 Ekim 2026.

Sık sorulan sorular