AP Calculus Örtük Türev: Birinci ve İkinci Türev

x ile y aynı denklemde birlikte verildiğinde y'yi önce yalnız bırakmak her zaman kolay değildir. Örtük türevde, eğrinin incelenen dalında y'nin x'e bağlı olduğunu kabul ederek denklemin iki tarafını türevleriz. AP Calculus için bu rehber birinci türevi, teğeti, ikinci türevi ve türev formülünün kullanılamadığı noktaları aynı örnek üzerinden birleştirir.

Her y terimi zincir kuralını taşır

Bir dalda y = y(x) olduğunda y²'nin türevi 2y y', y³'ün türevi 3y²y', sin y'nin türevi cos y · y', eʸ'nin türevi eʸy' olur. xy gibi bir çarpımın türevi ise y + xy'dir. y'nin x'e göre sabit olduğunu varsaymak bu bağlantıyı kaldırır.

College Board çerçevesinin 3.2 başlığı örtük türevi, 3.6 başlığı daha yüksek mertebeden türevleri içerir. Örtük türev AB'de de ele alınır. Bir çözümün belirli sayıda satır yazıldığında sabit bir puan kazandırdığı varsayılmamalıdır; aşağıdaki adımlar matematiksel gerekçeyi görünür kılar.

Çalışılan nokta gerçekten eğri üzerinde mi?

Türev bulmadan önce verilen (a, b) noktasını orijinal denklemde kontrol edin. x² + y² = 25 için (3, 4) geçerlidir, çünkü 9 + 16 = 25. (3, 5) aynı eğride değildir; bu noktaya −x/y formülünü yerleştirmek eğrinin oradaki teğetini bulmaz. Denklem, nokta ve seçilen yerel dal aynı problemde birbiriyle tutarlı olmalıdır.

Örnek 1: çemberde birinci türev ve teğet

x² + y² = 25 denklemini x'e göre türevleyelim: 2x + 2y y' = 0. y ≠ 0 olduğunda y' = −x/y olur. (3, 4)'te eğim −3/4'tür. Teğet doğrusu y − 4 = −(3/4)(x − 3) biçiminde yazılır.

Bu formül çemberin bütününü tek bir y = f(x) fonksiyonu yapmaz. Üst ve alt yarılar farklı yerel dallardır. Aynı x değeri için iki y değeri bulunabilir; noktadaki y işareti hangi dalda çalıştığınızı belirler. (3, −4)'te eğim +3/4 olur.

Aynı çemberde ikinci türev

y' = −x/y ifadesinin x'e göre türevinde y yine değişkendir. Bölüm kuralıyla y'' = [−y + xy']/y² bulunur. Ardından y' = −x/y yerine konursa y'' = −(x² + y²)/y³ olur. Eğri üzerinde x² + y² = 25 olduğundan y'' = −25/y³ yazılabilir.

(3, 4)'te ikinci türev −25/64'tür. Üst dal burada aşağıya konkavdır. (3, −4)'te ikinci türev +25/64 olur; alt dal yukarıya konkavdır. y'' hesabında x² + y²'yi 25'e çevirmek yalnız bu çemberin noktaları için geçerlidir.

İkinci türevi, ilk türev ifadesini sadeleştirmeden de bulabiliriz. 2x + 2y y' = 0 eşitliğini bir kez daha türevleyince 2 + 2(y')² + 2y y'' = 0 olur. Buradan y'' = −[1 + (y')²]/y çıkar; y' = −x/y yerine konunca aynı sonuç elde edilir. İki yolun eşleşmesi işlemi denetlemeye yarar.

y = 0 noktalarında bölmeden önce durun

Çemberin (5, 0) ve (−5, 0) noktalarında −x/y formülü tanımsızdır. Bunlar düşey teğet noktalarıdır; teğet doğruları sırasıyla x = 5 ve x = −5'tir. Sıfır payda, eğimi sonlu bir sayı olarak yazmaya izin vermez. Bu noktalarda y' = 0 diyerek yatay teğet bulduğunuzu söylemeyin.

Genel bir örtük denklemde türev formülünün paydası sıfır olduğunda geometrinin ayrıca incelenmesi gerekir. Bu durum her denklem için otomatik olarak düşey teğet anlamına gelmez. Örneğin y³ = x³ gerçek sayılarda y = x doğrusunu tanımlar; türevli denklemi y²'ye bölmek orijinde kullanılamasa da doğrunun oradaki türevi 1'dir.

Örnek 2: karışık çarpım içeren kübik eğri

x³ + y³ = 6xy denklemi için türev 3x² + 3y²y' = 6y + 6xy' olur. y' terimlerini bir tarafa toplayınca (3y² − 6x)y' = 6y − 3x² elde edilir. Payda sıfır değilken y' = (2y − x²)/(y² − 2x) bulunur.

(3, 3) eğri üzerindedir; iki taraf da 54'tür. Eğim (6 − 9)/(9 − 6) = −1 olur. Türev formülünü tekrar türevlerken payın türevi 2y' − 2x, paydanın türevi 2y y' − 2'dir. Buradan y'' = [(2y' − 2x)(y² − 2x) − (2y − x²)(2y y' − 2)]/(y² − 2x)² elde edilir. (3, 3)'te y' = −1 yerleştirildiğinde y'' = −16/3 olur.

Bu örnekte xy terimi çarpım kuralını, y³ terimi zincir kuralını gerektirir. İkinci türevde de bu kuralların ikisi kullanılır. Orijinde hem pay hem payda sıfırsa sadeleştirilmiş formülü kullanmak yerine eğrinin yerel dallarını ayrıca inceleyin.

Örnek 3: trigonometrik ve üstel terimlerde iç fonksiyon

x sin y = 3 için türev sin y + x cos y · y' = 0 olur. x cos y ≠ 0 olan bir dalda y' = −sin y/(x cos y) bulunur. Denklemde y'nin açısı radyan olarak ele alınır. Verilen bir noktanın gerçekten x sin y = 3'ü sağladığını işlemden önce denetleyin.

e^xy = x + y için e^xy(y + xy') = 1 + y' yazılır. y' terimlerini topladığımızda y' = [1 − y e^xy]/[x e^xy − 1] elde edilir; paydanın sıfır olmaması gerekir. Üstelin türevi yalnız e^xy değildir: xy iç fonksiyonu, kendi çarpım kuralını da taşır.

Yatay teğet ararken pay ve paydayı birlikte kontrol edin

Bir türev bölümü N/D olarak yazılabiliyorsa, yatay teğet adayı için N = 0 ve D ≠ 0 koşulları birlikte aranır. Bulunan noktalar orijinal eğriyi de sağlamalıdır. Çemberde pay −x olduğundan x = 0 adaydır; orijinal denklem y = ±5 verir ve bu noktalarda payda sıfır değildir. Yatay teğetler y = 5 ve y = −5'tir.

Payı sıfırlamak tek başına yeterli değildir; payda da sıfırsa işlem sonlu bir eğim göstermemiştir. Bu ayırımı özellikle karışık polinom ve üstel denklemlerde koruyun.

Çözüm sırası: denklemi ve dal koşulunu kaybetmeyin

1. Noktayı orijinal denklemde doğrulayın.
2. Her iki tarafı aynı değişkene göre türevleyin; y terimlerine y' ekleyin.
3. y'yi yalnız bırakırken hangi ifadeye böldüğünüzü yazın.
4. Teğet için y'yi, konkavlık için gerektiğinde y''yi noktada değerlendirin.
5. Paydanın sıfır olduğu noktaları ayrı ele alın; gerekirse başka bir gösterim kullanın.

Temel türev kuralı seçimleri için türev yöntemleri rehberine dönebilirsiniz. Konuyu ders programıyla çalışmak için AP Calculus AB ve AP Calculus BC sayfaları kullanılabilir. Bu çözümler işlem ve koşul örnekleridir; soru başına sabit puan veya süre vaat etmez.

Sıkça sorulan sorular