Kısa cevap
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulurken türevin değerinden çok işaretini incelersiniz. Bir noktadaki pozitif türev tek başına bütün bir aralık hakkında karar vermez; formül, grafik veya verilen bilgiyle işaretin aralık boyunca geçerli olduğunu göstermek gerekir. Bu yazı işaret tablosunu, tanım kümesini ve grafikte hangi fonksiyonun çizildiğini birlikte ele alır.
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulurken türevin değerinden çok işaretini incelersiniz. Bir noktadaki pozitif türev tek başına bütün bir aralık hakkında karar vermez; formül, grafik veya verilen bilgiyle işaretin aralık boyunca geçerli olduğunu göstermek gerekir. Bu yazı işaret tablosunu, tanım kümesini ve grafikte hangi fonksiyonun çizildiğini birlikte ele alır.
Artanlık ve azalanlık ne anlama gelir?
Bir aralıkta x₁ < x₂ iken f(x₁) < f(x₂) oluyorsa f kesin artandır; eşitsizlik ters yöndeyse kesin azalandır. Türevlenebilir bir fonksiyon için aralık boyunca f' > 0 olması kesin artanlığı, f' < 0 olması kesin azalanlığı garanti eder. Bu sonuç Ortalama Değer Teoremiyle ilişkilidir.
Türevin her noktada kesin pozitif olması artanlık için zorunlu değildir. f(x) = x³ tüm reel sayılarda kesin artandır, fakat f'(0) = 0'dır. f' ≥ 0 koşulu türevlenebilir bir aralıkta azalmamayı sağlar; f sabit bir alt aralık içerebileceğinden tek başına kesin artanlık iddiası için yeterli değildir.
Tanım kümesinden işaret tablosuna
- Önce f'in tanım kümesini belirleyin. Bir paydanın sıfırı, fonksiyonun bulunmadığı bir nokta olabilir.
- f' = 0 olan noktaları ve f'in tanımlı olup f'in türevlenmediği noktaları bulun.
- Bu noktalarla birlikte tanım kümesindeki boşlukları sayı doğrusuna yerleştirin.
- Her açık aralıkta türevin işaretini gerekçelendirin ve fonksiyonun davranışını yazın.
Bir test değeri ancak seçilen aralıkta işaretin değişmeyeceğini bildiğinizde bütün aralığı temsil eder. Çarpanları sürekli olan bir polinom türevinde bütün kökleri ayırmak bunu sağlar. Türev yalnızca bir tabloyla birkaç noktada verilmişse, satırlar arasındaki işaret hakkında ek bilgi gerekebilir.
Polinom örneği: işaret değişimi ve artan aralıklar
f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5 için f'(x) = 3(x − 3)(x + 1). Türev kökleri −1 ve 3'tür.
| Aralık | x − 3 | x + 1 | f' işareti | f'in davranışı |
|---|---|---|---|---|
| (−∞, −1) | − | − | + | Artan |
| (−1, 3) | − | + | − | Azalan |
| (3, ∞) | + | + | + | Artan |
Örneğin x = −2 için iki çarpan da negatiftir; çarpımları pozitiftir. x = 0 için çarpım negatiftir. İşaret tablosu f'in (−∞, −1) ve (3, ∞) aralıklarında artan, (−1, 3) aralığında azalan olduğunu gösterir. −1 ve 3 noktalarını yerel ekstremum bakımından ayrıca inceleyebilirsiniz.
Tanımsız türev ile tanımsız fonksiyonu ayırın
f(x) = ∛x tüm reel sayılarda tanımlı ve süreklidir. x ≠ 0 için f'(x) = 1/(3x^(2/3)) > 0, 0'da ise sonlu türev yoktur. Fonksiyon yine tüm reel sayılarda kesin artandır; 0'daki türev tanımsızlığı artanlığı engellemez.
g(x) = 1/x örneğinde ise 0 fonksiyonun tanım kümesinde değildir. g'(x) = −1/x² < 0 olduğundan (−∞, 0) ve (0, ∞) üzerinde ayrı ayrı azalandır. Bunu tanım kümesinin bütünü üzerinde azalan şeklinde birleştirmeyin: −1 < 1 olduğu halde g(−1) = −1 < g(1) = 1'dir.
Kritik sayının fonksiyonun tanım kümesinde bulunması gerekir. g'nin 0'ı bir kritik sayı değildir; iki ayrı aralığı ayıran dışlanmış noktadır. f(x) = |x| için ise 0 tanımlıdır ve türev yoktur; bu nedenle kritik sayı olabilir.
Grafik f'e mi, f'e ait türeve mi ait?
f' grafiğinde x ekseninin üstünde kalan bölümler f'in arttığı, altında kalan bölümler f'in azaldığı yerleri gösterir. f' grafiğinin kendisinin yükselmesi ise f'in konkavlığını ilgilendirir. f' < 0 ama f' artıyorsa f azalır; ikinci türevin bulunduğu noktalarda f'' ≥ 0 olur. f'' > 0, f' fonksiyonunun kesin artması için yeterli bir koşuldur. Böylece azalan bir f grafiği yukarı doğru konkav olabilir.
Örneğin f(x) = e^(−x) için f' = −e^(−x) < 0 ve f'' = e^(−x) > 0. Fonksiyon azalırken yukarı doğru konkavdır. Konkavlık, artanlıkla aynı karar değildir.
Grafikte bir eksen teması ile eksen geçişini de ayırın. f' sıfıra değip yine pozitif kalıyorsa f artmaya devam edebilir. f' pozitiften negatife geçiyorsa f'in yerel maksimumu için gerekli işaret değişimi oluşur; ilgili noktada f'in sürekliliği de gerekir.
Trigonometrik örnek ve aralık uçları
f(x) = sin x'i [0, 2π] üzerinde inceleyin. f' = cos x olduğundan (0, π/2) ve (3π/2, 2π) üzerinde artar; (π/2, 3π/2) üzerinde azalır. sin x'in sıfırları bu soruda artanlık sınırları değildir; türevin sıfırları gerekir.
İşaret analizi çoğunlukla açık aralıklarla gösterilir. Bu, artanlık tanımının kapalı aralıklarda kullanılamayacağı anlamına gelmez. Süreklilik ve iç noktaların türev işareti sayesinde örneğin sin x'in [0, π/2] üzerinde artan olduğu da söylenebilir. Soruda istenen aralık biçimini koruyun; uç nokta değerleri mutlak maksimum ve minimum hesabında ayrıca kullanılır.
Cevabı gerekçeye bağlayın
“f, (−1, 3) üzerinde azalır; çünkü bu aralıkta f'(x) = 3(x − 3)(x + 1) < 0” cümlesi hem sonucu hem dayanağını verir. Yalnızca bir test değerinin sonucunu yazıp aralık koşulunu atlamayın. Kapalı aralıkta mutlak ekstremum isteniyorsa artanlık listesine ek olarak uç değerleri ve bütün kritik adayları karşılaştırın.
Sıkça sorulan sorular
f'(c) = 0 ise fonksiyon artmayı bırakır mı?
f' grafiği artıyorsa f de artar mı?
Paydanın sıfırı her zaman kritik sayı mı?
Artan aralığın uçları mutlaka açık mı yazılır?
Son güncelleme: 15 Ekim 2026