AP Calculus İkinci Türev Testi

İkinci türev testi, uygun bir iç noktada f′(c)=0 koşuluyla yerel ekstremumu sınıflandırır: pozitif ikinci türev minimum, negatif ikinci türev maksimum verir. f″(c)=0 ise test karar vermez. Bu AP Calculus rehberi, özgün polinom, logaritma ve karşıörneklerle önce koşulları kontrol etmeyi, kararsız durumda başka kanıt kullanmayı ve yerel sonucu mutlak sonuçtan ayırmayı açıklar.

Testin önce hangi koşullarını sağlamalısınız?

Güncel College Board çerçevesinin 5.7 konusu, ikinci türevle yerel ekstremum kararını AB ve BC'nin ortak kapsamına yerleştirir. Bu test, yalnız f″ işaretine bakıp herhangi bir noktayı maksimum veya minimum ilan etme yöntemi değildir.

İkinci türev testinin yeterli koşullarını şu biçimde kullanalım: c tanım aralığının iç noktası, f′(c)=0 ve f″ c'yi içeren açık bir aralıkta sürekli olsun. Bu koşullarda f″(c)>0 yerel minimum, f″(c)<0 yerel maksimum verir. Örneklerde kullanılan düzgün fonksiyonlar bu koşulları sağlar.

f″(c)=0 ise bu test sonuçsuzdur; “ekstremum yok” sonucu değildir. f′ veya f″ ilgili noktada bulunmuyorsa bu testin yerine geçerli bir işaret veya fonksiyon değeri karşılaştırması gerekir. Kritik nokta kavramı daha geniştir: fonksiyonun tanımlı olduğu bir iç noktada f′ sıfır olabilir veya bulunmayabilir. İkinci türev testinin bu iki türün her birinde otomatik çalıştığını söylemeyin.

Özgün polinom: iki aday, iki farklı karar

Yayımlanmış bir AP sorusu olmayan özgün modelde f(x)=x³−9x²+24x+2 olsun. f′(x)=3x²−18x+24=3(x−2)(x−4) ve f″(x)=6x−18'dir. Fonksiyon bütün gerçek sayılarda düzgün olduğu için x=2 ve x=4 test koşullarını sağlayan adaylardır.

Sonucu yalnız “−6 olduğu için maksimum” diye bırakmayın: hangi noktada birinci türevin sıfır olduğu ve ikinci türevin neyi sınıflandırdığı açık olsun. Maksimumun yeri x=2, maksimum değeri 22, grafik noktası (2,22)'dir. Sorunun istediği büyüklüğe göre bunları ayırın.

Bu iki karar yereldir. Örneğin f(10)=342, yerel maksimum değeri 22'den büyüktür; bu durum testi çürütmez. Fonksiyonun bütün tanım aralığında en büyük veya en küçük değerinin bulunduğunu ikinci türev testinden tek başına çıkaramayız.

Pozitif f″ tek başına minimum değildir

q(x)=x²+2x için q″(x)=2 her yerde pozitiftir. Buna rağmen x=0 yerel minimum değildir: q′(0)=2 sıfır olmaz. Sıfırın hemen solunda q(−0,1)=−0,19, sağında q(0,1)=0,21'dir; q(0)=0 değeri bu yakın değerlerin arasında kalır.

Fonksiyon yukarı konkavken artıyor veya azalıyor olabilir. Düzgün bir iç noktada teğetin yatay olması, ikinci türev testinin önemli ön koşuludur. Konkavlığın aralık üzerindeki anlamını ve büküm noktalarıyla farkını konkavlık rehberinde ayrıca inceleyebilirsiniz.

Logaritmalı modelde tanım aralığını koruyun

Özgün g(x)=x²−6ln x modeli için gerçek tanım aralığı x>0'dır. g′(x)=2x−6/x=2(x²−3)/x olur. Sıfırları cebirsel olarak ±√3 verse de negatif kök tanım aralığında değildir; yalnız c=√3 geçerli adaydır.

g″(x)=2+6/x², x>0 üzerinde süreklidir ve g″(√3)=4>0 olur. g′(√3)=0 ile birlikte bu bilgi yerel minimumu verir. Değer g(√3)=3−3ln3≈−0,295837'dir. g′'ün paydasını sıfır yapan x=0 ise g'nin tanımlı olduğu bir nokta değildir; “türev bulunmuyor” diyerek onu kritik nokta listesine katmayın.

Bu örnekte negatif minimum değeri bir hata değildir. Minimum olmak, fonksiyonun pozitif olmasıyla değil yakın noktalardaki değerlerden küçük olmasıyla ilgilidir. Birim veya gerçek yaşam anlamı ancak sorunun tanımladığı bağlamdan gelir; burada boyutsuz bir matematik modeli kullanıyoruz.

f″=0: minimum, maksimum veya hiçbiri olabilir

Üç karşılaştırmada u=x−2 olsun: A(x)=5+u⁴, B(x)=5−u⁴ ve C(x)=5+u³. Her biri için x=2'de ilk ve ikinci türev sıfırdır. Buna rağmen yerel davranışlar farklıdır; tek bir sıfır değeri üçünü ayıramaz.

Buradaki sonuçları ikinci türev testinden elde etmedik; o test her üçünde de kararsızdır. Birinci türevin işaretini ve fonksiyon değerlerini kullanarak karar verdik. C, noktadan geçerken artmayı sürdürür; yatay teğet tek başına dönüş anlamına gelmez.

A için (x−2)⁴≥0 olduğundan yakın değerler 5'ten küçük değildir; B için ters eşitsizlik maksimumu destekler. C'nin solunda 5'ten küçük, sağında 5'ten büyük değerler vardır. Daha yüksek türevler hesaplanabilir, fakat bunları zorunlu bir BC kurtarma sırası diye sunmayın. Uygun koşullarda birinci türev işaret testi yeterli bir başka yoldur.

Köşe ve uç nokta bu iç nokta testi değildir

k(x)=|x−1|+2 için x=1'de yerel minimum vardır: bütün yakın değerler 2'den büyük veya eşittir. Fakat k′(1) bulunmaz; ikinci türev testiyle sınıflandırma yapamayız. Sol tarafta eğim −1, sağ tarafta +1'dir. Türevlenemeyen bir minimumun bulunması, düzgün iç noktalar için kullanılan f′(c)=0 koşulunu ihlal eden bir örnek değildir; o koşulun varsayımı burada sağlanmaz.

Uç noktaları da ayrı değerlendirin. v(x)=x², yalnız [1,3] üzerinde verildiğinde mutlak minimum değeri v(1)=1'dir; v′(1)=2 olsa da bu sonuç doğrudur. x=1 incelenen aralığın iç noktası değildir. Kapalı aralıkta sürekli bir fonksiyonun mutlak ekstremumu aranıyorsa uygun iç adaylarla uç noktaların değerlerini karşılaştırın; bu yazıdaki yerel iç nokta testini uç noktalara otomatik taşımayın.

Grafik veya tablo yalnız hangi bilgiyi sağlıyor?

f′ grafiği verilmişse ikinci türev, o grafiğin eğimidir. Özgün bir yerel veri örneğinde f′(4)=0 ve f′, 4 çevresinde eğimi −3 olan bir doğru parçası olsun. Burada f″(4)=−3 ve testin koşulları sağlandığından f, x=4'te yerel maksimuma sahiptir. f′ grafiğinin ekseni kestiği noktayı bulmakla f′ grafiğinin kendi ekstremumunu bulmak farklı işlemlerdir.

Bir tablo yalnız f′(4)=0 ve birkaç komşu örnek değer veriyorsa arada düzgünlük veya işaret davranışı hakkında eksik bilgi kalabilir. Sorunun açıkça verdiği türevlenebilirlik, süreklilik ve aralık koşullarını kullanın; birkaç hücreden bütün bir çevrede aynı işaretin sürdüğünü uydurmayın.

FRQ sonucunu testin verdiği kadar söyleyin

Önce fonksiyonun tanım aralığında geçerli iç adayı belirleyin. Birinci türevin sıfır olduğunu, kullanılabilen ikinci türevin işaretini ve yerel maksimum/minimum kararını açıkça bağlayın. Test kararsızsa bu durumu belirtip başka geçerli kanıt gösterin. f″=0 bilgisinden doğrudan “büküm” veya “ekstremum yok” yazmayın.

Her türev satırının değişmez bir puan getirdiğini veya bütün ikinci türev sorularının beş puanlık aynı tabloyu kullandığını varsaymayın. Yayımlanmış görevin istediği hesap ve gerekçe, o görevin değerlendirme kılavuzuyla okunmalıdır. Türev işlemleri için türev kuralları rehberi, ders kapsamı için AP Calculus AB ve AP Calculus BC sayfaları kullanılabilir.

Sıkça sorulan sorular