AP Calculus BC: Taylor ve Maclaurin

Taylor polinomu kurarken merkez, türev değerleri ve faktöriyeller birlikte kullanılır. Polinomun derecesi ile sıfır olmayan terim sayısı aynı şey değildir; sonlu bir yaklaşım ile sonsuz serinin fonksiyonu temsil etmesi de farklı sorulardır. Bu AP Calculus BC rehberi, özgün örneklerle bu kararları ve kalan terimin rolünü açıklıyor.

Önce merkezi ve istenen dereceyi yazın

a merkezli m'inci mertebeden Taylor polinomu P_m(x) = ∑_k=0^m [f^(k)(a)/k!](x − a)^k biçimindedir. Gerekli türevlerin merkezde var olduğu varsayılır. Her katsayı, türevin merkezdeki değeriyle kurulur; türev fonksiyonunu x'e bağlı hâliyle katsayı yerine bırakmayın.

a = 0 özel durumuna Maclaurin polinomu denir. Başka bir merkezde x yerine (x − a) kuvvetleri kullanılır. Polinomun derecesi en çok m'dir; üst katsayılar sıfırsa gerçek derece daha küçük olabilir. Soruda “ilk üç sıfır olmayan terim” denmesi ise kuvvetlerin tek tek sayılmasını istemez.

Özgün örnek 1: e^2x için merkez 1

f(x) = e^2x fonksiyonunu a = 1 çevresinde ikinci dereceye kadar yazalım. Zincir kuralı f′ = 2e^2x, f″ = 4e^2x verir. Değerleri 0!, 1! ve 2! ile ayrı ayrı bölün.

Sonuç P₂(x) = e²[1 + 2(x − 1) + 2(x − 1)²] olur. x = 1,1 için merkezden uzaklık 0,1 olduğundan yaklaşım 1,22e²'dir. Buraya doğrudan x = 1,1 kuvvetleri koymak, merkezi yanlış taşımaktır.

Yerel eşleşmeyi denetleyebiliriz: P₂(1) = e², P′₂(1) = 2e², P″₂(1) = 4e². Bu eşitlikler, kurduğumuz polinomun merkezde fonksiyonun ilk iki türevine uyduğunu gösterir. Polinomun her noktada e^2x'e eşit olduğu sonucu çıkmaz.

Özgün örnek 2: derece ile terim sayısı

g(x) = cos(3x) için Maclaurin açılımının ilk üç sıfır olmayan terimi 1 − 9x²/2 + 81x⁴/24 olur. Dördüncü derece terimin katsayısı 81/4! = 81/24 = 27/8'dir. Tek dereceli türevlerin sıfırdaki değerleri sıfır olduğundan x, x³ ve x⁵ terimleri görünmez.

Bu polinom üç sıfır olmayan terim taşır ama derecesi 4'tür. Beşinci mertebeye kadar Taylor polinomu istendiğinde de aynı ifade elde edilir; x⁵ katsayısı sıfırdır. Buna karşılık “beş sıfır olmayan terim” istense x⁶ ve x⁸ terimlerine kadar devam etmek gerekir. Sorunun kelimeleri hangi noktada duracağınızı belirler.

İç fonksiyonun 3 katsayısını unutmak cos x ile cos(3x) serilerini karıştırır. Bilinen cos z açılımına z = 3x koyduğunuzda bütün kuvvetlere bu değişim uygulanır: z² = 9x², z⁴ = 81x⁴. Yalnız ilk terime veya tek bir katsayıya uygulamayın.

Sonlu polinomun kalanını açıkça ayırın

Başka bir özgün modelde h(x) = 1/(1 − 2x) olsun. Sıfır merkezli üçüncü derece polinom P₃(x) = 1 + 2x + 4x² + 8x³'tür. Sonlu geometrik toplam özdeşliği, x ≠ 1/2 için tam olarak h(x) − P₃(x) = (2x)⁴/(1 − 2x) verir.

x = 0,1'de P₃ = 1,248, h = 1,25 ve fark 0,002 olur. Bu fark, polinomun o noktadaki gerçek hatasıdır; aynı sayıyı bütün bir aralık için hata üst sınırı diye kullanamayız. Burada hata tahmini yerine doğrulanabilen tam bir kalan ifadesi elde ettik.

Genel sonlu toplam P_N(x) = 1 + 2x + ⋯ + (2x)^N için kalan (2x)^N+1/(1 − 2x)'tir. Sabit bir x ve |2x| < 1 seçildiğinde bu kalan N büyüdükçe sıfıra gider; böylece sonsuz seri h(x)'i temsil eder. Aynı işlemi h'nin tanım kümesindeki her x için koşulsuz yapamayız.

Örneğin x = 0,6'da h(x) = −5 tanımlıdır, fakat seri terimleri (1,2)ⁿ sıfıra gitmez ve seri ıraksar. Fonksiyonun bir noktada tanımlı olması, seçilen merkezdeki Taylor serisinin o noktada onu temsil etmesine yetmez. x = 1/2'de ise fonksiyonun kendisi de tanımsızdır.

Taylor serisini yazmak, eşitliği kanıtlamakla aynı değil

Gerekli bütün türevler varsa katsayılarla ∑ [f^(k)(a)/k!](x − a)^k Taylor serisi oluşturulur. Fakat “f(x) bu seriye eşittir” demek için ilgili x'te kalan R_N(x) = f(x) − P_N(x)'in sıfıra gittiği de bilinmelidir. Sadece katsayıları doğru yazmak bu koşulu yerine getirmez.

Bilinen e^x, sin x ve cos x serilerinden dönüşüm yaparken de değişkeni, merkezini ve geçerli bölgeyi izleyin. e^2x'in a = 1 açılımı e²∑ [2(x − 1)]^k/k! biçimindedir ve bütün gerçek x değerlerinde fonksiyona eşittir. Bir önceki rasyonel örneğin sonlu geçerli bölgesini, bütün serilerin ortak sınırı gibi kullanmayın.

Üç ayrı kontrol sorusu

1. Polinom istendiyse merkez, derece veya sıfır olmayan terim sayısı ne?
2. Yaklaşık değer istendiyse hangi x kullanılacak ve hata hakkında ne isteniyor?
3. Sonsuz temsil veya yakınsaklık aralığı istendiyse seri hangi bölgede yakınsıyor ve fonksiyonla eşitlik hangi gerekçeye dayanıyor?

Bu görevler ilişkili olsa da her resmî soru hepsini birlikte istemez. Lagrange hata sınırı veya dönüşümlü seri hata sınırı kullanılacaksa o yöntemin koşulları ayrıca kurulmalıdır. Buradaki rasyonel örneğin tam kalan özdeşliğini, bütün fonksiyonlar için kullanılacak bir hata formülü saymayın.

Kendinizi sınayın

cos(3x) için 1 − 9x²/2 + 81x⁴/24 polinomu hakkında hangi ifade doğrudur? Soru rehber için hazırlanmıştır.

1. İki sıfır olmayan terimlidir ve derecesi 2'dir.
2. Beş sıfır olmayan terimlidir ve derecesi 4'tür.
3. Üç sıfır olmayan terimlidir ve derecesi 5'tir.
4. Üç sıfır olmayan terimlidir ve derecesi 4'tür.

Doğru seçenek D'dir. Sabit, x² ve x⁴ terimleri sıfır değildir. En büyük kuvvet 4'tür; eksik tek kuvvetler yeni sıfır olmayan terim sayılmaz. Beşinci mertebedeki katsayının sıfır olması, görünen polinomun derecesini 5 yapmaz.

Güncel College Board çerçevesi Taylor polinomuyla yaklaşımı Topic 10.11'de, Taylor ve Maclaurin serilerini Topic 10.14'te BC kapsamında ele alır. Yakınsaklık aralığının ayrıntıları yarıçap ve uç nokta rehberindedir. Sabit soru puanı veya her çözüm için aynı adım sayısı varsaymayın.

Matematiksel kaynak: OpenStax: Taylor ve Maclaurin serileri. Ders bilgisi AP Calculus BC sayfasındadır. Bu yazıdaki örnekler özgün öğretim çalışmalarıdır; yaklaşık değerler için kurulan koşullar, otomatik puan veya sonuç garantisi değildir.

Sık sorulan sorular