AP Physics 1: Kütleçekim Kuvveti ve Alanı

Kütleçekim kuvvetini bulurken kütleleri, merkezler arasındaki uzaklığı ve kuvvetin yönünü ayrı belirleyin. G evrensel sabittir; g ise bulunduğunuz yerdeki kütleçekim alanıdır. Bu AP Physics 1 rehberi, özgün gezegen ve iki kütle örnekleriyle alanı kuvvetten, yüksekliği merkez uzaklığından ve gerçek ağırlığı destek kuvvetinden ayırır.

Önce modelin nerede geçerli olduğunu yazın

College Board çerçevesinin 2.6 konusu kütleçekim etkileşimini ele alır. Noktasal iki kütle için kuvvet büyüklüğü F=Gm1m2/r²'dir. Kuvvetler çekicidir; her kütledeki kuvvet öteki kütleye doğru yönelir. r merkezler arasındaki uzaklıktır, iki yüzey arasındaki boşluk değildir.

Küresel simetrili bir gezegenin dışındaki küçük cisim için gezegenin toplam kütlesini merkezde toplanmış gibi kullanabiliriz. Bu dış bölge modeli, herhangi bir şeklin içindeki her noktaya otomatik taşınmaz. İç bölge sorusunda kütle dağılımını bilmeden yalnız toplam M ile aynı 1/r² bağıntısını uygulamayın. “Kabuk” ile “düzgün yoğunluklu dolu küre”yi aynı fizik modeli saymayın.

Aşağıdaki örnekler gerçek gezegen ölçümleri veya yayımlanmış AP soruları değildir. Sayısal veriler ilişkileri öğretmek için seçilmiştir. Başka kuvvetler yoksa cismin ivmesi g alanından gelir; cisim bir yüzey tarafından destekleniyorsa net ivmeyi bütün kuvvetler belirler.

G, g ve mg üç farklı şeydir

G'nin SI birimi N·m²/kg²'dir ve Newton modelinde bütün bu etkileşimlerde aynı sabit kullanılır. Kaynak kütle M'nin dışarıdaki r uzaklığında oluşturduğu alan büyüklüğü g=GM/r², birimi N/kg'dır. Yalnız yerçekimi etkisiyle düşen küçük cismin ivmesi bu yerde aynı sayısal değeri m/s² cinsinden alır.

Bu noktaya m kütleli bir test cismi koyunca yerçekimi kuvveti F=mg olur. Alanın g değeri test cisminin kütlesine bağlı değildir; kuvvet ise bağlıdır. Aynı yerde kütleyi iki katına çıkarınca F iki katına çıkar, fakat aynı ideal serbest düşme koşullarındaki ivme iki katına çıkmaz. Hava direnci, başka etkileşim veya kaynağın hareketi önemliyse model koşullarını ayrıca inceleyin.

Özgün gezegen: yükseklik yerine merkez uzaklığı

Küresel simetrili bir gezegenin yarıçapı R=2,0×10⁶ m ve GM=8,0×10¹² m³/s² olsun. Gezegenin dönmesinin ve diğer gök cisimlerinin etkisini bu modelde ihmal ediyoruz. Yüzeyde merkez uzaklığı R, yüzeyden h yükseklikte ise r=R+h'dir.

Yüzey alanı g0=(8,0×10¹²)/(2,0×10⁶)²=2,0 N/kg olur. Yüzeyden R kadar yüksekte r=2R=4,0×10⁶ m ve alan 0,50 N/kg'dır. h=R'yi doğrudan paydaya koymak bu ikinci noktayı yüzeyle karıştırır ve alanı dört kat büyük verir.

Tablodaki kütle 100 kg olarak kalır. Ağırlığın azalması kütlenin kaybolduğu anlamına gelmez. Sayılar seçilmiş öğretim değerleridir; bu tabloyu Dünya'nın veya başka gerçek gezegenin ölçümü diye kullanmayın.

Oran hesabında hangi büyüklük sabit?

Aynı kaynak M ve aynı test kütlesi için uzaklık r'den 2r'ye çıkınca F ve g dörtte bire iner. Kaynak M üç katına, uzaklık iki katına çıkarsa alanın yeni/eski oranı 3/2²=3/4'tür. Test kütlesi de iki katına çıkmışsa kuvvetin oranı 2×3/4=3/2 olur; alanın oranı yine 3/4 kalır.

Başka iki küresel gezegeni kendi yüzeylerinde karşılaştıralım. B'nin kütlesi A'nın dört katı, yarıçapı iki katı olsun. gB/gA=4/2²=1 çıkar. Daha büyük gezegen kütlesi tek başına daha büyük yüzey alanı demek değildir; yarıçapın karesini de hesaba katın. Bu karşılaştırma yalnız verilen dış/yüzey modeli ve kütle–yarıçap koşullarıyla geçerlidir.

Eşit kuvvet, eşit ivme anlamına gelmez

İki noktasal kütle 3 kg ve 12 kg olsun; aralarındaki uzaklık 2 m, G=6,67×10⁻¹¹ N·m²/kg² verilsin. Etkileşim kuvvetinin büyüklüğü G×3×12/2²=6,003×10⁻¹⁰ N'dir. Küçük kuvvet, örneğin kütlelerinin küçük olmasından kaynaklanır; yanlışlıkla Dünya'nın g değerini bu iki kütlenin arasına koymayın.

Newton'un üçüncü yasası uyarınca kütlelerin birbirine uyguladığı kuvvetler eşit büyüklükte ve zıt yönlüdür. Başka kuvvet yoksa 3 kg kütlenin ivme büyüklüğü F/3=2,001×10⁻¹⁰ m/s², 12 kg kütleninki F/12=5,0025×10⁻¹¹ m/s² olur. İlk ivme ikincinin dört katıdır; kuvvetlerin eşit olması ivmelerin eşit olmasını gerektirmez.

Bu iki kuvvet farklı kütlelere etki eder. Tek kütlenin diyagramında birbirini götürmezler; ikisi birlikte sistem seçilince iç etkileşim kuvvetleri toplam dış kuvvete eklenmez. Kaynağın hareketini ihmal etmek için küçük test kütlesi varsayımı kullanıyorsanız bunu açıkça yazın; iki benzer kütleyi incelerken birini keyfî olarak sabit saymayın.

Birden çok kaynağın alanını yönlü toplayın

Eşit M kütleleri düz bir eksende x=−d ve x=+d noktalarında bulunsun. Ortadaki küçük test cismine soldaki kaynak sola, sağdaki kaynak sağa çekim uygular. İki alanın büyüklüğü GM/d² olduğundan net alan ortada sıfırdır. Bu, her bir etkileşimin yok olması değildir; vektörlerin toplamı sıfırdır.

Sağdaki kaynak 2M, soldaki M olursa orta noktadaki sağa alan 2GM/d², sola alan GM/d² olur. Sağı pozitif seçince net alan +GM/d²'dir. Alanların büyüklüklerini yönsüz toplamak 3GM/d² verirdi ve yanlış olurdu. Bu karşılaştırmada kaynak konumlarını sabit tutan düzeni veya ilgili anı ele alıyoruz; kaynakların uzun süreli hareketini hesaplamıyoruz.

“Sabit g” küçük bir bölge yaklaşımıdır

Gezegen yüzeyinden çok küçük yükseklik değişimlerinde g(h)/g(0)=[R/(R+h)]² oranı bire yakındır. Örneğin h=0,01R için oran 1/1,01²≈0,9803, yani alan yaklaşık yüzde 1,97 daha küçüktür. Bu hesap “her yüzde 1 yükseklikte alan tam yüzde 2 azalır” diye yeni bir kesin kural değildir.

Sabit g yaklaşımının yeterli olup olmadığı görevin ölçeğine ve beklenen doğruluğa bağlıdır. Yüksekliği R ile karşılaştırılabilir bir yolculukta yüzey g'sini bütün mesafe boyunca aynen kullanmayın. Yüzeye yakın ΔU≈mgΔh yaklaşımı ile uzaklık çok değişirken kullanılan merkez uzaklığı modelini de aynı varsayımlarla açıklamayın.

Ağırlıksız görünmek, alanın sıfır olması değildir

Özgün gezegenin r=2R noktasında 100 kg cisme yerçekimi kuvveti 50 N'dir. Cisim ve küçük kapsül yalnız yerçekimi etkisiyle birlikte serbest düşüyorsa, yerel alan farklarını ihmal eden modelde destek gereksinimi sıfır olabilir. Terazinin normal kuvvet ölçümü sıfırken yerçekimi kuvveti 50 N olarak kalır.

Gerçek ağırlık yerçekimi kuvvetidir; görünür ağırlık destek kuvvetiyle ilişkilidir. Bu örnek bütün kapsülde her noktanın alanının tam eşit olduğunu iddia etmez. Destek ve ivme ilişkisini daha ayrıntılı Newton'un ikinci yasası rehberinde, yörünge boyunca hareketi uydu yörüngesi rehberinde inceleyebilirsiniz.

Hesabın sonunda kuvveti alanla değiştirmeyin

Son kontrolünüzde hangi kaynağın hangi cisme kuvvet uyguladığını, doğru merkez uzaklığını, yönü ve istenen birimi belirtin. N/kg ile N aynı cevap değildir. Evrensel puan dağılımı veya birkaç cümlenin garantili sonucu yerine görevin gerçek hesap, açıklama ve diyagram isteğini izleyin. Ders kapsamı için AP Physics 1 kursu sayfasına bakabilirsiniz.

Sıkça sorulan sorular