AP Calculus BC: İki Boyutlu Hareket

İki boyutlu harekette konum, hız ve ivme vektördür; sürat ise hız vektörünün büyüklüğüdür. Yer değiştirmeyi uç konumları çıkararak, toplam yolu süratin integralini alarak bulursunuz. Bir x bileşeninin işareti, cismin bütün hareketini veya süratinin artıp azaldığını tek başına açıklamaz.

Bu rehber AP Calculus BC’nin düzlemde hareket konusunu, tek bir özgün parametrik örnek üzerinde birleştirir. Vektör türevi ve integralinin temel işlemlerini ayrı rehberlere bırakır; burada amaç sonuçların hareket sorusunda ne anlama geldiğini ayırmaktır. Sabit FRQ puan dağılımı veya başarı vaadi yoktur.

Özgün hareket: önce zamanı ve birimleri tanımlayın

−1 ≤ t ≤ 1 saniye aralığında bir parçacığın konum koordinatları x(t) = 2 + t³/3 ve y(t) = −1 + t² olsun. Bu ifadelerde t’nin sayısal değeri saniye cinsinden kullanıldığında koordinatlar cm cinsindendir; katsayılar ilgili birimleri taşır. t = 0, seçtiğimiz zaman referansıdır, hareketin mutlaka başlangıcı değildir.

Konum vektörü r(t) = ⟨2 + t³/3, −1 + t²⟩, hız v(t) = ⟨t², 2t⟩ cm/s ve ivme a(t) = ⟨2t, 2⟩ cm/s² olur. Sürat s(t) = √(t⁴ + 4t²) = |t|√(t² + 4) cm/s’dir. Karekökten t çıkarırken |t| kullanmak, negatif zamanlarda da süratin negatif olmamasını sağlar.

Yatay yön, düşey yön ve durma koşulu

t ≠ 0 için x′(t) = t² pozitiftir; parçacık sağa ilerler. t < 0 için y′(t) negatiftir ve aşağı iner; t > 0 için yukarı çıkar. t = 0’da hem x′ hem y′ sıfır olduğu için parçacık anlık olarak durur. Sadece x′ = 0 veya sadece y′ = 0 bulmak, iki boyutta durma sonucuna yetmez.

t = 0’da ivme ⟨0,2⟩’dir ve sıfır değildir. Dolayısıyla hızın bir anda sıfır olması, ivmenin de sıfır olduğunu veya parçacığın çevresindeki bütün zamanlarda durduğunu göstermez. Tablo ile işaret analizini birlikte kullanın.

Süratin değişimi için iki bileşeni birlikte kullanın

Hız sıfır değilken süratin türevi s′(t) = [v(t)·a(t)]/|v(t)| olur. Nokta çarpımı vₓaₓ + vᵧaᵧ’dir. Pozitifse sürat artar, negatifse azalır. İki boyutta yalnız vₓ ile aₓ’in işaretlerini karşılaştırmak bütün sürat için yeterli değildir.

Özgün harekette v·a = t²·2t + 2t·2 = 2t(t² + 2) olur. Bu yüzden −1 < t < 0 aralığında sürat azalır; 0 < t < 1 aralığında artar. Kapalı aralıktaki en küçük sürat 0’da 0, en büyük sürat iki uçta da √5’tir.

t = 0’da payda |v| sıfır olduğundan bu bölüm formülünü uygulamayın. s(t) = |t|√(t² + 4) ifadesinin sol türevi −2, sağ türevi 2’dir; sürat bu noktada türevlenmez. Buna rağmen minimumu vardır. Kritik durumları yalnız payı sıfırlayarak sınıflandırmak bu ayrımı kaçırır.

Başka bir anda v = ⟨3,4⟩ ve a = ⟨2,−3⟩ verilseydi vₓaₓ = 6 pozitif olurdu; fakat v·a = 6 − 12 = −6 ve s′ = −6/5 bulunurdu. Yatay bileşen hızlanırken toplam süratin azalabileceğini bu kısa karşı örnek gösterir.

Uç konum farkı, yolun tamamı değildir

İlk ve son konumları çıkarınca r(1) − r(−1) = ⟨2/3, 0⟩ cm elde edilir. Yer değiştirmenin büyüklüğü 2/3 cm’dir. y koordinatının iki uçta da sıfır olması, parçacığın başlangıç noktasına döndüğü anlamına gelmez; x koordinatları farklıdır.

Toplam yol L = ∫₋₁¹ |v(t)| dt = ∫₋₁¹ |t|√(t² + 4) dt olur. Çift fonksiyon simetrisiyle L = 2∫₀¹t√(t² + 4) dt = (2/3)(5√5 − 8) ≈ 2,1202 cm bulunur. İntegral, iki uç arasındaki doğru parçayı değil izlenen yolun uzunluğunu toplar.

Burada 2,1202 > 2/3 olması tutarlıdır. Vektör integralinin büyüklüğü ile büyüklüğün integrali farklı işlemlerdir: |∫v dt| yer değiştirmenin büyüklüğü, ∫|v| dt toplam yoldur. Bileşen integrallerini ayrı hesaplamak yer değiştirmeyi verir; bu iki sayıyı toplayıp yol diye yazmayın.

Hareket yönü ile eğri eğimini karıştırmayın

t = 1’de hız ⟨1,2⟩’dir; pozitif x yönüyle yaptığı açı arctan 2 ≈ 63,4° olur. Bu anda dx/dt ≠ 0 olduğundan eğrinin eğimi dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = 2’dir. Hız vektörü, sürat √5 ve eğim 2 aynı nesne değildir.

Genel formülde dy/dx = 2/t ancak t ≠ 0 için kullanılabilir. t = 0’da iki bileşen de sıfır olduğundan 0/0 yazıp eğime sıfır atamayın. Sorunun istemediği birim teğet, normal vektör veya eğrilik hesabını otomatik çözüm adımı gibi eklemek de gerekli değildir.

Özgün kontrol sorusu

Verilen hareket için −1 < t < 0 aralığında hangisi doğrudur? A) Parçacık sola gider ve sürati azalır. B) Sağa ve aşağı gider; sürati azalır. C) Sağa ve yukarı gider; sürati artar. D) x′ pozitif olduğu için sürati artar.

Doğru cevap B’dir. x′ = t² > 0, y′ = 2t < 0 ve v·a < 0 birlikte bu yorumu verir. Doğru seçeneğin gerekçesi tek bir bileşenin işareti değildir.

Soruya uygun son cevabı seçin

“Velocity” için iki bileşeni, “speed” için normu, “displacement” için uç konum farkını yazın. “Distance travelled” isteniyorsa sürati entegre edin. Yön veya sürat değişimi sorusunda ilgili işaretin hangi aralıkta geçerli olduğunu belirtin; durma noktalarında bölme içeren formüllerin koşulunu tekrar kontrol edin.

Temel işlemler için vektör değerli fonksiyonların türevi ve vektör integrali rehberlerini okuyabilirsiniz. Ders kapsamı AP Calculus BC sayfasındadır.

Kaynak kontrolü: 15 Ekim 2026. College Board AP Calculus BC kılavuzu, Konu 9.3–9.6; OpenStax vektörlerle hareket bölümü. Bu rehber yalnız düzlemdeki hareketi kullanır; sayısal örnekler özgündür.

Sık sorulan sorular