AP Calculus f, f' ve f'' grafik okuma: 6 bağlantı

f grafiğinin yüksekliği f’nin değerini, eğimi f′ değerini gösterir. f′ grafiğinin yüksekliği ise f’nin eğimidir; bu grafiğin kendi eğimi f″ değeridir. Grafik okuma sorularında önce çizilen niceliği ve eksen ölçeğini belirleyin; bir grafiğin yüksekliğini başka bir grafiğin eğimiyle karıştırmayın.

Güncel College Board ders çerçevesinin 5.8–5.9 konuları bu gösterimleri hem AB hem BC kapsamında ilişkilendirir. Türev grafiğinden net değişimi bulmak için kullanılan integral ilişkisi de ortak kapsamdadır; yalnız BC’ye ait değildir. Aşağıdaki grafik ve değerler özgün bir modeldir.

Altı bağlantıyı, geçerli olduğu koşullarla okuyun

f′ > 0 olan aralıkta f artar; f′ < 0 olan aralıkta azalır. Ters yönde “artan fonksiyonun türevi her noktada kesin pozitiftir” demeyin: türevlenebilir bir artan fonksiyonun bazı noktalarda türevi sıfır olabilir. Benzer biçimde f′’nin bir aralıkta artması, o aralıktaki her noktada f″’nin kesin pozitif olmasını zorunlu kılmaz; türevin sıfır olduğu noktalar olabilir.

Özgün model: Doğru parçalarından oluşan f′ grafiği

0 ≤ x ≤ 4 için f′ grafiği (0,−2), (2,2) ve (4,−2) noktalarını sırayla birleştiren doğru parçaları olsun. Bu, yalnız üç örnek değeri değil, aralığın tamamında verilen grafiktir: 0 ≤ x ≤ 2 için f′(x) = 2x − 2; 2 ≤ x ≤ 4 için f′(x) = 6 − 2x. İki ifade x = 2’de aynı değer olan 2’yi verir.

Boyutsuz koordinatlar kullanıyoruz. f(0) = 5 olsun. Üst grafikte bu başlangıçla bulunan f, altta verilen f′ gösterilmiştir. Her panelin düşey ölçeğini kendi etiketiyle okuyun.

Grafiğin yüksekliği ve eğimi farklı soruları cevaplar

f′, (0,1)’de negatif olmasına rağmen artar. Dolayısıyla f azalır ama teğet eğimleri daha az negatif hale gelir; f yukarı konkavdır. x = 0,5’te f′ = −1 ve f″ = 2’dir. Bu iki sayı çelişmez: ilki f’nin eğimi, ikincisi bu eğimin değişim oranıdır.

f′, (1,3)’te pozitiftir; f bu aralıkta artar. Ancak x = 2’de f′’nin artma yönü azalmaya döner. f′(2) = 2, sıfır değil, olduğundan f’nin orada yatay teğeti yoktur. Burada en büyük olan f’nin değeri değil, bu modelde f′’nin değeridir.

f″ = 2, (0,2)’de; f″ = −2, (2,4)’tedir. x = 2’de f′ grafiği köşelidir ve f″ bulunmaz. Buna rağmen f sürekli olduğu ve konkavlık yönü değiştiği için f’de x = 2’de büküm noktası vardır. Büküm için ikinci türevin mutlaka sıfır olması gerekmez.

İşaretli alanla f değerlerini yeniden kurun

Verilen f′ süreklidir; f(x) = 5 + ∫₀ˣ f′(u) du ile başlangıçtan ilerleyebiliriz. (0,1) arasında üçgenin işaretli alanı −1, (1,2) arasında +1, (2,3) arasında +1, (3,4) arasında −1’dir. Eksenin altındaki alanı pozitif katkı gibi toplamayın.

x = 1’de f′ negatiften pozitife geçtiği için f’nin minimumu; x = 3’te pozitiften negatife geçtiği için maksimumu bulunur. f(4) = f(0) olması fonksiyonun arada sabit olduğunu göstermez; pozitif ve negatif alanlar birbirini götürmüştür.

Cebirsel kontrol için f(x) = x² − 2x + 5, 0 ≤ x ≤ 2; f(x) = −x² + 6x − 3, 2 ≤ x ≤ 4 yazılabilir. x = 2’de hem değerler hem ilk türevler eşleşir, ikinci türevler eşleşmez. Grafikler arasındaki ilişki böylece bütün parçalarda doğrulanır.

Türev grafikleri düşey başlangıç değerini belirlemez

Aynı modele 7 ekleyip F(x) = f(x) + 7 kurarsanız F′ = f′ ve F″ = f″ olur. F(0) = 12 iken f(0) = 5’tir. Türev grafikleri aynı olmasına rağmen fonksiyonların düşey yerleri farklıdır; yalnız f′ grafiğinden f’nin sıfırlarını okuyamazsınız.

Yalnız f″ = 2 bilgisi daha da az belirleyicidir. Örneğin x² ile x² − 4x + 7 aynı ikinci türeve sahiptir; ilk türevleri farklıdır ve minimumları farklı x konumlarında oluşur. f″’den f′’ye geçmek için bir ilk türev değeri, f’ye geçmek için ayrıca bir fonksiyon değeri gerekir.

Sıfır, köşe ve birim kontrolleri

Bir grafiğin ekseni kesmesi, yalnız o grafikteki niceliğin sıfır olduğunu söyler. Örneğin H(x) = (x − 2)³ − 4 için H′(2) = 0 fakat H(2) = −4’tür. H her iki tarafta artmaya devam eder; bu durağan nokta yerel ekstremum değildir. İşaret değişimini ve fonksiyonun o noktadaki varlığını ayrıca kontrol edin.

Fiziksel bir grafikte birimler de değişir. f(t) bir derişimi mg/L, t zamanı dakika ile gösteriyorsa f′ birimi mg/(L·dakika), f″ birimi mg/(L·dakika²) olur. Çizimin ekrandaki dikliğini sayısal eğim sanmayın; yatay ve düşey eksen ölçeklerinden değişim oranını hesaplayın.

Yalnız örnek noktalardan oluşan bir tablo, noktalar arasında hangi eğrinin bulunduğunu tek başına belirlemez. Yukarıdaki modelde doğru parçalarının verilmesi bu belirsizliği kaldırır. Gerçek bir soruda düz parçalar, süreklilik, türevlenebilirlik veya başlangıç değeri hangi bilgilerle verilmişse sonucu o kapsamda yazın.

Gerekçeyi doğru grafiğe bağlayın

“f azaldığı için f″ negatiftir” yerine, örneğin “f′ grafiğinin eğimi bu açık aralıkta −2 olduğundan f″ = −2’dir” yazın. Yatay teğet için f′ değerine; değişim hızının en büyük olduğu yer için f′ yüksekliğine bakın. Her grafik bağlantısına otomatik bir puan atanmaz; sorunun istenen niceliği ve ilgili değerlendirme ölçütleri belirleyicidir.

İşlemleri türev kuralları rehberinde, yalnız konkavlık ve büküm koşullarını konkavlık rehberinde ayrıntılı inceleyebilirsiniz. Ortak kapsam AP Calculus AB ve AP Calculus BC sayfalarında yer alır.

Sık sorulan sorular

Kaynak ve grafik notu

AP kapsamı için College Board 5.8–5.9 ve integral bağlantısı için 6.4–6.7 konuları kullanılmıştır. Grafik ilişkileri OpenStax Calculus Volume 1, 4.5 ile birlikte değerlendirilmiştir. Çizim, parçalı model ve sayısal değerler bu yazı için hazırlanmıştır; bir resmî sınav çiziminin kopyası değildir.