AP Calculus Related Rates: 7 Adım

İlişkili değişim hızlarında zamanla değişen nicelikleri bir bağıntı bağlar; verilen hızlardan istenen hızı türevle bulursunuz. Aynı uzunluk, alan veya hacim değeriyle bu değerin değişim hızını karıştırmayın. Bu AP Calculus rehberi, yedi adımı bir çözüm düzeni olarak kullanır; özgün kap, çubuk, gölge ve alan örneklerinde sabitleri, işaretleri ve birimleri açık tutar.

AB ve BC'de aynı zincir kuralı kullanılır

College Board çerçevesinin 4.4 ve 4.5 konuları, ilişkili değişim hızlarının hesabını ve bağlamdaki yorumunu kapsar. Zamanla değişen nicelikleri aynı bağımsız değişkene göre türevlemek için zincir kuralı kullanılır; çarpım ve bölüm kuralları da gerekebilir. Bu temel yöntem AB ve BC'nin ortak kapsamındadır.

İlişkili hız hesabında birden fazla bağıntı gerekebilir. Örneğin koni hacmini su yüksekliğine bağlamak için hacim formülünün yanında benzer üçgen oranını kullanırız. “Her problem mutlaka tek bir denklemle çözülür” diye bir kural koymayın.

Yedi adım, yedi sabit puan değildir

1. Sorulan hızı belirleyin. Hangi niceliğin, hangi zamandaki değişim oranı isteniyor?
2. Değişkenleri ve model koşullarını tanımlayın. Diyagram gerekiyorsa uzunlukları etiketleyin; hangileri zamanla değişiyor, hangileri sabit?
3. Nicelikleri bağlayın. Geometri veya fizik bağıntısını bütün ilgili zamanlarda geçerli olacak biçimde yazın.
4. Zamana göre türev alın. Değişen her niceliğe uygun zaman türevini ekleyin; bir anlık sayısal değeri baştan sabit gibi türevlemeyin.
5. O ana ait verileri yerleştirin. Eksik uzunluğu veya hacmi bağıntıdan bulun; zaman ve uzunluk birimlerini uyumlu hale getirin.
6. İstenen hızı çözün. Bilinen hızla bilinmeyen hızı karıştırmadan denklemi düzenleyin.
7. Sonucu yorumlayın. İşareti, birimi ve modelin geçerlilik koşulunu kontrol edin.

Bu sıralama düşünceyi düzenler; her adımın ayrı puan aldığı evrensel bir değerlendirme tablosu değildir. Bazı sorular yalnız denklem veya hız, bazıları ek gerekçe ister. Diyagram çizmenin veya fazladan bir açıklama eklemenin bütün görevlerde otomatik puan kazandırdığını varsaymayın.

Özgün konik kapta net hacim hızını bulun

Aşağıdaki örnekler yayımlanmış AP soruları veya gerçek ölçümler değildir. Tepe noktası altta olan sabit bir dik dairesel konik kabın yüksekliği 12 cm, üst yarıçapı 4 cm olsun. Sıvı sıkıştırılamaz; kabın kısmen dolu olduğu aralıkta su yüksekliği h, su yüzeyinin yarıçapı r'dir. Benzer üçgenler r/h=4/12=1/3, yani r=h/3 verir.

İncelediğimiz anda giriş 18π cm³/dakika, çıkış 6π cm³/dakika olsun. Depolanan su hacmi dV/dt=18π−6π=12π cm³/dakika hızla artar. Kabın içindeki V'nin hızı giriş hızına tek başına eşit değildir; çıkışı da hesaba katıyoruz.

Hacim V=(π/3)r²h=πh³/27 olur. Zaman türevi dV/dt=(πh²/9)(dh/dt)'dir. h=3 cm anında r=1 cm ve 12π=π(dh/dt) olduğundan dh/dt=12 cm/dakika, yani 0,2 cm/s bulunur. Aynı anda dr/dt=(1/3)(dh/dt)=4 cm/dakikadır.

πh²/9 katsayısının birimi cm²'dir; cm² ile cm/dakika çarpımı hacim hızı birimini verir. İncelediğimiz anın h=3 değerini V ifadesine baştan koyup sabit hacmi türevlemek, değişen yüksekliğin bilgisini silerdi.

Aynı hacim hızı, aynı yükseklik hızı değildir

Aynı net dV/dt=12π cm³/dakika korunurken h=6 cm anında katsayı 4π cm² olur. Bu kez dh/dt=3 cm/dakika, dr/dt=1 cm/dakikadır. Yükseklik iki katına çıkınca su yüzeyinin alanı dört katına çıkar ve aynı hacim artışı yüksekliği daha yavaş değiştirir.

Karşılaştırma aynı net akışın korunduğu iki farklı an içindir. Başlangıç yüksekliği ve akışın bütün zamanlardaki davranışı verilmeden “yirmi saniye sonra yükseklik budur” sonucunu çıkaramayız. h=0'da bu hız formülünün paydasının sıfır olması da gerçek bir dolum başlangıcına otomatik sonsuz hız atama gerekçesi değildir; modelin sınırını ayrıca değerlendirin.

Sabit çubuk uzunluğunu değişen yükseklikle karıştırmayın

Özgün geometrik modelde 13 m uzunluğunda sabit bir merdiven, dik duvar ve yatay zeminle bir dik üçgen oluştursun. Alt ucun duvardan uzaklığı x, üst ucun yüksekliği y olsun. İncelenen aralıkta iki temas korunur; x²+y²=13² ve y>0'dır.

Zamana göre türev 2x(dx/dt)+2y(dy/dt)=0 verir. x=5 m anında y=12 m'dir. Alt uç duvardan 2 m/s hızla uzaklaşırken dy/dt=−(5/12)×2=−5/6 m/s olur. Negatif işaret üst ucun yüksekliğinin azaldığını söyler; bunun büyüklüğü aşağı hareket sürati 5/6 m/s'dir.

Uzunluk sabit değilse denklem değişir. Aynı anlık x=5, y=12 ve L=13 değerlerinde uzayabilen bir çubuk için x²+y²=L(t)² ve x(dx/dt)+y(dy/dt)=L(dL/dt) kullanılır. dL/dt=0,5 m/s ve dx/dt=2 m/s ise dy/dt=(13×0,5−5×2)/12=−7/24 m/s'dir. O anda L=13 olması, uzunluğun zaman boyunca sabit olduğu anlamına gelmez.

Gölge uzunluğu ile gölge ucunun konumu farklıdır

Özgün ışık modelinde 6 m yüksekliğinde sabit bir noktasal ışık kaynağı, düz zeminde 1,5 m boyunda dik duran kişinin gölgesini oluştursun. Kişi aynı doğrultuda lambadan uzaklaşır. x, kişinin lambadan uzaklığı; s, kişiden gölge ucuna kadar uzunluk; z=x+s, gölge ucunun lambadan uzaklığı olsun.

Benzer üçgenlerden 6/(x+s)=1,5/s, dolayısıyla s=x/3 bulunur. dx/dt=1,2 m/s için ds/dt=0,4 m/s olur. Gölge ucunun konumu ise dz/dt=dx/dt+ds/dt=1,6 m/s hızla değişir. “Gölge ne kadar hızla uzuyor?” ile “gölge ucu ne kadar hızla ilerliyor?” aynı niceliği sormaz.

Bir kenar büyürken alan küçülebilir

Dikdörtgenin iki kenarı da zamanla değişiyorsa A=xy için dA/dt=y(dx/dt)+x(dy/dt) gerekir. Özgün bir anda x=8 cm, y=5 cm, dx/dt=0,3 cm/s ve dy/dt=−0,2 cm/s olsun. Alan hızı 5×0,3+8×(−0,2)=−0,1 cm²/s'dir.

Bir kenarın büyümesi tek başına alanın büyüdüğünü göstermez. Her iki katkıyı ve değişimin yönünü değerlendirin. dA/dt=−0,1 sayısı alanın negatif olduğunu söylemez; o anda A=40 cm² ve alan azalıyor demektir.

Geçmiş bir görevden puanlama sınırını okuyun

2026 AB/BC ortak 3. sorunun B kısmı, verilen sıcaklık değişim modelinden başlangıçtaki teğet eğimini ister. O belirli türev görevinin ölçütü, doğru eğim ve destekleyici işlemdir; yalnız bir teğet denklemi yazılması bu ölçüt için dikkate alınmaz. Bu örnek, çözüm adımlarının puanının istenen göreve bağlı olduğunu gösterir.

Bu geçmiş görevdeki ölçütü konik kap veya gölge örneğine sabit bir puan tablosu olarak taşımayın. Kendi cevabınızda o sorunun istediği değişim oranını, gerekli türev ilişkisini ve bağlam yorumunu gösterin. Temel işlemler türev kuralları rehberinde, ardışık türevler yüksek türev rehberinde anlatılır. Ders kapsamını AP Calculus AB ve AP Calculus BC sayfalarında inceleyebilirsiniz.

Sıkça sorulan sorular