AP Physics 1: Kütle Merkezi ve Sistem

Kütle merkezi, seçilen sistemin kütleyle ağırlıklandırılmış konumudur. Önce hangi parçaların sisteme girdiğini ve koordinat başlangıcını belirleyin; sonra her eksende kütle ile konumun çarpımlarını toplayıp toplam kütleye bölün. Bu AP Physics 1 rehberi, özgün bir ve iki boyutlu örneklerle kütle merkezinin konumunu, hızını ve dış kuvvetlerle ilişkisini ayırır.

Kütle merkezi her zaman geometrik orta nokta değildir

Bir eksen boyunca xCM = Σmixi/Σmi yazılır. Her mi pozitif kütle, xi aynı anda aynı koordinat sisteminde ölçülen konumdur. Eşit kütleli iki noktanın merkezi orta noktadadır; kütleler farklıysa merkez ağır olana daha yakındır. Ortalama alınırken uzaklıkların büyüklüklerini değil, işaretli koordinatları kullanın.

Güncel College Board AP Physics 1 çerçevesinin 2.1 konusu sistem ve kütle merkezi modelini açıklar. Sınır, iki boyutta en fazla beş parçacık veya yüksek simetrili dağılımların hesaplarını kapsar. Aşağıdaki sayılar özgündür; sürekli dağılımın kalkülüsle hesabını veya sabit sınav puanlarını zorunlu bir görev gibi sunmaz.

Özgün iki kütle örneği: işaretli konumlarla hesaplayın

1,0 kg'lık küçük cisim x = −2,0 m, 3,0 kg'lık cisim x = +4,0 m konumunda olsun. Bağlantı varsa kütlesi ihmal edilsin. Toplam kütle 4,0 kg, pay (1)(−2) + (3)(4) = 10 kg·m olur. Kütle merkezi xCM = 10/4 = +2,50 m'dir.

İki konumun geometrik orta noktası +1,0 m'dir; kütle merkezi bununla aynı değildir. Bulduğumuz nokta ağır cisme 1,50 m, hafif cisme 4,50 m uzaktadır. Uzaklık oranı kütle oranının tersidir: 4,50/1,50 = 3. Ayrıca sonuç iki noktanın arasında kalır; pozitif iki kütlenin merkezinin bu aralığın dışına çıkması işaret veya payda hatasını düşündürür.

Koordinat başlangıcını eski x = +1,0 m noktasına taşırsak yeni konumlar −3 ve +3 m olur. Yeni kütle merkezi (−3 + 9)/4 = +1,50 m'dir. Eski koordinatta +2,50 ile yeni koordinatta +1,50 aynı fiziksel noktayı anlatır. Sayısal koordinatın değişmesi, cismin yer değiştirdiği anlamına gelmez.

İki boyutta aynı kütleleri iki kez kullanın

Özgün düzlemsel sistemde üç noktasal kütle verilsin: A, 1 kg ve (0, 0) m; B, 2 kg ve (4, 0) m; C, 3 kg ve (0, 3) m. Toplam kütle 6 kg'dır. xCM = [1(0) + 2(4) + 3(0)]/6 = 4/3 m; yCM = [1(0) + 2(0) + 3(3)]/6 = 1,50 m bulunur.

Bir eksende sıfır koordinatı olan parçanın kütlesi paydadan çıkarılmaz; o parçanın ilgili eksendeki pay katkısı sıfırdır. Sonuç (4/3, 1,50) m, parçaların oluşturduğu üçgenin içinde kalır. Yalnız üçgen köşelerinin koordinatlarını eşit ağırlıkla ortalamak, üç farklı kütleyi göz ardı eder. Bu örnekte x ortalaması tesadüfen yine 4/3 çıkar; fakat y ortalaması 1 m olur ve doğru 1,50 m değerini vermez.

Simetri neyi söyleyebilir, neyi söyleyemez?

Homojen halkanın kütle merkezi geometrik merkezindedir; ortasında madde bulunmaması buna engel değildir. Aynı şekilde kütle merkezinin mutlaka cismin dolu bir noktasında bulunması gerekmez. Homojen ve simetrik bir levhada simetri çizgileri merkez için güçlü ipuçları verir.

Geometrisi simetrik fakat bir tarafı daha yoğun olan bir cisimde yalnız şekle bakarak merkez seçmeyin. Simetri, kütle dağılımının simetrisi olmalıdır. Sisteme yeni parça ekler veya bir parçayı çıkarırsanız da önce sistem tanımı değişir; eski toplam kütle ve merkezi yeni sistemin yerine kullanamazsınız.

Konum merkezi ile hız merkezini ayrı hesaplayın

Sabit kütleli parçalar için vCM = Σmivi/M yazılır. Özgün bir anda 2 kg'lık A arabası x = 0 m konumunda +3 m/s; 3 kg'lık B arabası x = 5 m konumunda −1 m/s ile ilerlesin. O andaki xCM = 3 m, vCM = [2(3) + 3(−1)]/5 = +0,60 m/s'dir. Konum ve hız ayrı verilerdir; aynı kütle merkezi konumunu paylaşan farklı hız modelleri kurulabilir.

Bu hızlar sabit kalsaydı xA(t) = 3t ve xB(t) = 5 − t olurdu. Merkez xCM(t) = [2(3t) + 3(5 − t)]/5 = 3 + 0,60t m olarak ilerlerdi. t = 2 s'de arabalar x = 6 ve x = 3 m'dedir; merkez x = 4,20 m olur. Arabaların birbirini geçmesi, ağırlıklı ortalama yöntemini değiştirmez.

İç kuvvetler parçaları oynatırken merkezi ne belirler?

Sabit kütleli seçilmiş sistemin kütle merkezinin ivmesi, toplam dış kuvvetle ilişkilidir: Fext,net = MaCM. İki araba birbirini itiyorsa aralarındaki eşit ve zıt kuvvetler toplamda birbirini götürür. Tek bir arabada bu itme dış kuvvettir; iki arabalık sistemde iç kuvvettir. Dolayısıyla sistem sınırını değiştirmeden kuvvetleri sınıflandırın.

İdeal yatay düzende toplam 5 kg'lık iki arabaya net 10 N dış kuvvet sağa uygulanırsa aCM = 2,0 m/s² olur. Aralarındaki iç kuvvetin değeri, tek tek araba ivmelerini etkileyebilir; toplam dış kuvvete ayrıca eklenmez. Net dış kuvvet sıfırsa merkez hızı sabittir, fakat merkezin konumu mutlaka sabit değildir.

A ve B'nin 2 kg ve 3 kg kütleli olduğu başka bir durumda ilk konumlar 0 ve 5 m olsun; sistem başlangıçta durgun ve yatay dış kuvvet sıfır olsun. Kütlesiz iç yay parçaları ayırsın. A ilk konumundan −0,60 m yer değiştirmişse merkezin x = 3 m'de kalması için B'nin +0,40 m yer değiştirmesi gerekir: [2(−0,60) + 3(5,40)]/5 = 3. İç hareket vardır; merkez yer değiştirmemiştir.

Merkez modeli bütün dönme bilgisini taşımaz

Toplam dış kuvvetin merkez hareketini belirlemesi, rijit cismin bütün hareketinin tek bir noktadan ibaret olduğu anlamına gelmez. Dönme, kütle dağılımı ve tork bilgisi ayrıca gerekebilir. Aynı merkez hareketine sahip iki sistem farklı biçimde dönebilir ve farklı toplam kinetik enerji taşıyabilir.

Son kontrolde sistemi, pozitif yönü, aynı andaki koordinatları ve ortak toplam kütleyi belirtin. Konum, hız ve ivme bağıntılarını birbirinin yerine kullanmayın. Toplam momentum bağlantısı için lineer momentum ve yön rehberini, öğretmen desteği için AP Physics 1 kursu ve özel ders programını inceleyebilirsiniz.

Sıkça sorulan sorular