AP Physics 1: Doğrusal ve Dönme Hareketi

Doğrusal ve dönme hareketi bağlarken hangi noktanın hızını hesapladığınızı ve yarıçapın hangi eksenden ölçüldüğünü belirtin. v = rω teğetsel hızı, aₜ = rα teğetsel ivmeyi verir; toplam ivme yalnız bundan oluşmayabilir. Bu AP Physics 1 rehberi, özgün disk, ip ve tekerlek örnekleriyle bağlantıların koşullarını açıklar.

Aynı cisimde aynı olan ve değişen nicelikler

Sabit bir eksen etrafında dönen rijit diskin farklı noktaları aynı açısal yer değiştirmeyi, açısal hızı ve açısal ivmeyi paylaşır. Fakat eksene uzaklıkları farklıysa aldıkları yay yolları ve çizgisel süratleri farklıdır. “Aynı disk üzerinde” olmak, aynı doğrusal hız vektörüne sahip olmak anlamına gelmez; çevrenin farklı yerlerinde teğet yönleri de değişir.

Güncel College Board AP Physics 1 çerçevesinin 5.2 konusu bu bağlantıyı, 5.1 konusu açısal hareketi ele alır. Burada konu, noktaların kinematiğidir. Hangi kuvvetin bu hareketi oluşturduğu için dönmede Newton'un ikinci yasası rehberine, tork kolu için torkta eksen ve işaret seçimine bakabilirsiniz.

Bu tabloda r sabittir. Eksenin kendisi öteleniyorsa yer hızını bulmak için eksenin hareketini de eklemek gerekir. “a = rα” yazıp bunu her ortamda cismin bütün ivmesi saymak, hem merkeze yönelik bileşeni hem de hareketli ekseni gözden kaçırabilir.

Özgün iki nokta örneği: açısal değer aynı, çizgisel değer farklı

Sabit eksenli diskte A noktası r = 0,10 m, B noktası r = 0,30 m uzaklıkta olsun. İncelenen anda ω = +4,0 rad/s ve α = +2,0 rad/s² verilsin. Pozitif yön saat yönünün tersi olsun. A'nın teğetsel sürati 0,40 m/s, B'ninki 1,20 m/s'dir. Teğetsel ivmeler sırasıyla 0,20 ve 0,60 m/s² olur.

Merkeze yönelik ivmeler ise A için 0,10(4)² = 1,60 m/s², B için 0,30(4)² = 4,80 m/s²'dir. Bu bileşenler teğetsel ivmelere diktir. Toplam ivme büyüklükleri √(0,20² + 1,60²) ≈ 1,61 m/s² ve √(0,60² + 4,80²) ≈ 4,84 m/s² bulunur. Teğetsel ve merkezcil bileşenler aynı doğru üzerinde olmadığından doğrudan toplanmaz.

Her iki çizgisel bileşenin büyüklüğü yarıçapla doğru orantılıdır; B'de değerler A'nın üç katıdır. Aynı anda açısal hız ve açısal ivme oranları ise birdir. Bu ayrım, grafikte düşey eksenin v mi yoksa ω mı olduğuna bakmayı gerektirir.

Radyan, yay yolu ve yer değiştirme

Yarıçapı 0,30 m olan disk 90° dönsün. Önce 90° = π/2 rad dönüşümü yapılır. Kenardaki noktanın aldığı yay yolu 0,30π/2 = 0,15π ≈ 0,471 m'dir. Formüle doğrudan 90 yazmak 27 m sonucunu verir; açı birimi dönüştürülmemiş olur.

Aynı noktanın ilk ve son konumları arasındaki düz çizgi uzaklığı 0,30√2 ≈ 0,424 m'dir. Bu, çeyrek çember yayından kısadır. Bir tam turda yay yolu 0,60π ≈ 1,885 m, konum değişiminin büyüklüğü ise sıfırdır. Dolayısıyla r|Δθ|, hareket yön değiştirmeden sürüyorsa yay uzunluğunu verir; genel bir hareketin toplam yolunu yalnız net açısal yer değiştirmeden çıkarmayın.

Örneğin aynı disk önce yarım tur ileri, ardından yarım tur geri dönerse net açısal yer değiştirme sıfırdır. Yine de kenardaki nokta toplam bir çevre uzunluğu kadar yol alır. Yol hesabında iki parçanın büyüklükleri, işaretli yer değiştirme hesabında yönleri kullanılır.

Yavaşlayan dönmede ivmenin yönü

Başka bir özgün anda r = 0,20 m, ω = −3,0 rad/s ve α = +1,0 rad/s² olsun. Saat yönünün tersini pozitif seçtiğimiz için disk saat yönünde dönmekte ve yavaşlamaktadır. İşaretli teğetsel hız −0,60 m/s, teğetsel ivme +0,20 m/s²'dir. Merkeze yönelik ivme büyüklüğü 1,80 m/s² olur; toplam büyüklük √(0,20² + 1,80²) ≈ 1,81 m/s²'dir.

ω ve α'nın zıt işaretleri o anda açısal süratin azaldığını gösterir. α pozitif diye süratin mutlaka arttığını söylemeyin. Ayrıca ω = 0 olan bir anda α sıfır olmak zorunda değildir. Disk yön değiştirirken anlık merkezcil bileşen sıfır olabilir; teğetsel ivme ise hareketi yeniden başlatabilir. Bu açıklama sabit eksen ve sabit yarıçap modeline aittir.

İpin hızıyla makaranın kenarını hangi koşul bağlar?

Sabit merkezli, yarıçapı 0,20 m olan makaranın kenarındaki ip kaymasın; ip esnemesin ve gergin kalsın. İpin doğrusal sürati incelenen anda 0,80 m/s ise makaranın açısal sürati 0,80/0,20 = 4,0 rad/s'dir. İp sürati artarken teğetsel ivme büyüklüğü 0,40 m/s² ise açısal ivme büyüklüğü 2,0 rad/s² olur.

Bu açısal ivme 1,0 s boyunca sabit kalır ve dönme aynı yönde sürerse son açısal sürat 6,0 rad/s, son ip sürati 1,20 m/s'dir. Bu sürede açısal yer değiştirme 4(1) + ½(2)(1)² = 5,0 rad, açılan ip uzunluğu 1,0 m olur. İlk sürati bütün aralık boyunca sabit varsayarak 0,80 m bulmak, ivmeyi ihmal eder.

İp makara üzerinde kayıyorsa ip sürati ile r|ω| eşit olmak zorunda değildir. Sürtünmenin varlığı tek başına kaymama kanıtı değildir; model koşulunu veya veriyi kontrol edin. Bu kinematik bağlantı, makaraya etkiyen iki ip gerilmesinin mutlaka eşit olduğu anlamına da gelmez.

Yuvarlanan tekerlekte merkez hızı ve kenar hızı farklıdır

Düz, hareketsiz zeminde kaymadan sağa yuvarlanan R = 0,25 m tekerleğin merkezi 2,0 m/s hızla ilerlesin. Açısal sürati 8,0 rad/s ve dönmesi saat yönündedir. Merkezin yer hızına, kenar noktasının merkeze göre dönme hızını ekleyin: tepedeki nokta sağa 4,0 m/s, zemine değen nokta o anda sıfır yer hızına sahiptir. İkisinin merkeze göre süratleri ise aynı 2,0 m/s'dir.

Kaymama, temas noktasının zemine göre bağıl hızının sıfır olmasıdır. Hareketli bir bant üzerinde temas varsa noktanın yere göre hızı sıfır olmak zorunda değildir. Temas noktasının bir andaki yer hızının sıfır olması da ivmesinin sıfır olduğunu göstermez. Bu nedenle sabit eksenli nokta tablosunu, merkez hareketini eklemeden yuvarlanan cismin yer hareketi diye okumayın.

Grafik ve birim kontrolüyle modeli tamamlayın

Aynı sabit eksenli harekette vₜ–ω grafiğinin eğimi r, aₜ–α grafiğinin eğimi de r'dir. Özgün ölçümlerde ω = 2, 4, 6 rad/s iken vₜ = 0,30, 0,60, 0,90 m/s bulunursa eğim 0,15 m'dir. Eksenlerden biri sürat yerine işaretli hızsa verinin yönünü de koruyun; yarıçap negatif çıkmamalıdır.

Çözümünüzde önce ekseni ve noktayı belirtin, sonra açıyı radyana çevirin, uygun teğetsel bağıntıyı yazın ve merkezcil bileşenin gerekip gerekmediğini kontrol edin. Kaymama bağlantısını yalnız ilgili temas için kullanın. Böylece formül eşleştirmek yerine hangi fiziksel noktayı hangi gözlemciye göre tarif ettiğiniz anlaşılır; sabit bir cümle sayısını veya puan dağılımını varsaymanız gerekmez.

Bu konuları öğretmen eşliğinde çalışmak için AP Physics 1 kursu ve özel ders sayfasındaki programı inceleyebilirsiniz.

Sıkça sorulan sorular