AP Physics 1: Net Tork ve Açısal İvme

AP Physics 1 dönme dinamiğinde net dış torku, atalet momentini ve açısal ivmeyi aynı eksene göre kurun. Στ = Iα, uygun rijit cisim modelinde açısal hızın nasıl değiştiğini açıklar; kuvvet yönü, tork yönü ve dönme yönü aynı şey değildir. Bu rehber, özgün disk, çubuk ve makara örnekleriyle denklem ve model koşullarını gösterir.

Στ = Iα hangi eksene göre yazılır?

Sabit bir eksen etrafında dönen ve o eksene göre atalet momenti değişmeyen rijit bir cisim için net dış tork = Iα yazacağız. Alternatif olarak, öteleme de yapan rijit bir cismin dönmesini kütle merkezi etrafında ayrı incelemek mümkündür. İvmeli bir cisimde herhangi bir noktayı rastgele seçip aynı basit denklemi uygulamayın.

I, seçilen eksene göre kg·m² biriminde atalet momentidir. Tork N·m, açısal ivme rad/s² ile gösterilir. İlişki açısal ivmeyi verir; açısal hızı bulmak için başlangıç hızı ve zaman boyunca ivmenin nasıl değiştiği gerekir. Sıfır olmayan α, dönme süratinin mutlaka arttığı anlamına gelmez; ω ve α zıt işaretliyse sürat o anda azalır.

Tork büyüklüğünde r, eksenden kuvvetin uygulama noktasına olan uzaklıktır; açı bu konum vektörü ile kuvvet arasındadır. τ = rFsinθ veya Fd_dik kullanılabilir. Moment kolunu zaten dik uzaklık olarak aldıysanız bir kez daha sinθ ile çarpmayın. Temel geometri için tork rehberine bakabilirsiniz.

Özgün disk örneği: net torku önce toplayın

Kütlesi 2,0 kg, yarıçapı 0,20 m olan düzgün dolu disk, merkezinden geçen ve diske dik sabit eksende dönüyor. Bu eksene göre I = ½MR² = 0,040 kg·m²'dir. Kenara teğet 5,0 N kuvvet saat yönünün tersine etki etsin; ikinci bir dış etki saat yönünde 0,20 N·m sabit tork oluştursun. Diğer kuvvetlerin eksene göre torku yoktur.

Saat yönünün tersini pozitif seçersek uygulanan tork +1,0 N·m, ikinci etkinin torku −0,20 N·m'dir. Net +0,80 N·m olur. α = 0,80/0,040 = +20 rad/s² bulunur. İkinci torku atlamak +25 rad/s² verirdi; uygulanan tek kuvvetin torku net torkla aynı değildir.

Diskin o andaki ω'sı −10 rad/s ise pozitif α önce saat yönündeki dönüşü yavaşlatır. Bu net tork 1,0 s boyunca sabit kalsın: ω(t) = −10 + 20t olur, disk 0,50 s'de anlık durur ve sonra ters yönde dönmeye başlar. İlk yarım saniyenin açısal yer değiştirmesi −2,5 rad, ikinci yarım saniyeninki +2,5 rad olduğundan toplam sıfırdır; alınan toplam açısal yol 5,0 rad'dır. Tork pozitifken cismin her an pozitif yönde döndüğü sonucunu çıkarmayın.

Aynı tork, farklı atalet: bağımlılığı okuyun

Aynı kütle ve yarıçapta ince halka için merkez eksenine göre I = MR² = 0,080 kg·m² olur. Net torku yine +0,80 N·m verirsek α = +10 rad/s²'dir. Halka, diskin yarısı kadar açısal ivme kazanır. Bu karşılaştırmada net tork gerçekten aynı tutulmuştur; yalnız aynı büyüklükte kuvvet vermek, farklı moment kollarında aynı torku garanti etmez.

İki noktasal kütle, kütlesi ihmal edilen rijit çubuğa sabitlenmiş olsun: her biri 0,50 kg ve eksenden 0,20 m uzakta ise toplam I = 2(0,50)(0,20)² = 0,040 kg·m²'dir. Kütleleri yeni bir deneyde 0,40 m'ye sabitlersek I = 0,160 kg·m² olur; aynı 0,80 N·m torkta α 20'den 5,0 rad/s²'ye düşer. Hareket sırasında kütlelerin kaydığı ayrı bir model kurmuyoruz; iki farklı sabit dağılımı karşılaştırıyoruz.

Çubuk ve bağlı kütleler: ağırlık torkunu unutmadan

Özgün modelde 2,0 kg kütleli, 1,20 m uzunluklu düzgün ince çubuk, sol ucundaki sürtünmesiz sabit eksen etrafında düşey düzlemde dönüyor. Sağ uca 0,50 kg, orta noktaya 0,30 kg noktasal kütle sabitlenmiştir. Çubuk yatayken orta noktasına ayrıca 6,0 N aşağı kuvvet uygulansın. g = 10 m/s² alınır; menteşe ek dönme momenti sağlamaz.

Toplam atalet aynı eksene göre toplanır: I = ⅓(2)(1,20)² + 0,50(1,20)² + 0,30(0,60)² = 0,960 + 0,720 + 0,108 = 1,788 kg·m². Yayılı çubuğun ataleti kendi formülüyle, noktasal kütleler mr² ile bulunur. Bütün yayılı cisimleri tek noktaya indirip I = Σmr² yazmak doğru değildir.

Yatay konumda torklar, pozitif yön saat yönünün tersi seçildiğinde şöyledir: dış kuvvet −3,6 N·m; çubuğun ağırlığı −12 N·m; uç kütlenin ağırlığı −6,0 N·m; orta kütlenin ağırlığı −1,8 N·m. Toplam −23,4 N·m ve o andaki α = −23,4/1,788 ≈ −13,1 rad/s² olur. Ağırlıklar ihmal edilmediği için yalnız 6 N kuvvetle sonuç bulunamaz. Çubuk döndükçe ağırlıkların moment kolu değişir; bu anlık α'yı bütün hareket boyunca sabit varsaymayın.

Farklı bir modelde aynı sistem yatay düzlemde, düşey eksen çevresinde dönebilir ve ağırlıkların o eksene göre torku sıfır olabilir. O koşul açıkça verildiyse farklı tork hesabı yapılır. Eksenin adıyla yetinmeyip kuvvetlerin o eksene etkisini belirlemek, görünüşte benzer iki soruyu ayırır.

Makara ve asılı kütle: gerilme neden mg değildir?

Sabit merkezli, yarıçapı 0,20 m ve verilen atalet momenti 0,080 kg·m² olan makaraya kütlesiz ip sarılsın. İp gerili, uzamaz ve makarada kaymaz. İpin ucundaki 3,0 kg kütle aşağı ivmelensin; yatak sürtünmesi ihmal, g = 10 m/s² olsun. Makaranın pozitif dönüş yönünü ipin aşağı hareketine karşılık gelecek şekilde seçiyoruz.

Asılı kütle için mg − T = ma; makara için TR = Iα; kaymama koşulundan a = Rα yazılır. T = Ia/R² olduğundan a = mg/(m + I/R²) = 30/(3 + 2) = 6,0 m/s² bulunur. T = 12 N, α = 30 rad/s² ve tork TR = 2,4 N·m'dir. Torkun kaynağı asılı kütlenin makara merkezinde olmayan ağırlığı değil, makara kenarına etkiyen ip gerilmesidir.

Gerilmeyi mg = 30 N alsaydık asılı kütlenin net kuvvetini sıfırlardık; oysa kütle ivmelenmektedir. İp makarada kayarsa a = Rα bağıntısını aynı şekilde kullanamayız. Makara ataletini sıfır almak da bu modelden farklı bir idealizasyondur: o sınırda a, g'ye yaklaşır ve gerilme küçülür. Sonucun hangi kabulle değiştiğini söyleyin.

Teğetsel ivme ve enerji oranı için iki kontrol

Sabit eksendeki diskin merkezden r uzaklığındaki noktasının teğetsel ivmesi a_t = rα'dır. Dönüyorsa ayrıca merkeze yönelik a_r = rω² bileşeni bulunur. α = 0 olduğunda teğetsel ivme sıfır olabilir, fakat ω sıfır değilse radyal ivme vardır. Her doğrusal ivmeye koşulsuz “a = rα” demeyin.

Kaymadan yuvarlanma durumunda v_merkez = Rω ve K = ½Mv² + ½Iω² olur. Düzgün dolu disk için I = ½MR² kullanıldığında dönme enerjisinin toplam enerjiye oranı 1/3; ince halka için I = MR² olduğunda 1/2'dir. Diskte “yarısı”, halkada “tamamı dönme enerjisi” demek doğru değildir. Bu kısa karşılaştırma yalnız kaymadan yuvarlanma ve uygun merkez ekseni koşulundadır; yuvarlanmanın ayrıntılı hareketi ayrı konudur.

Kapsam ve açıklama: denklemi fiziksel modele bağlayın

Güncel College Board ders çerçevesi 5.6, net tork, atalet momenti ve açısal ivme ilişkisini, gerektiğinde ayrı doğrusal ve dönme analizlerini içerir. Çözümde dönen sistemi, ekseni ve dış torkları gösterin; ataleti aynı eksenden seçin, ip veya temas bağlantısını koşullarıyla açıklayın. Her satırın evrensel bir puan karşılığı veya aynı cevabın her soruda tam puan getirdiği iddia edilmez.

Net tork sıfırken dönme dengesi rehberini; açısal hız ve yer değiştirme için dönme kinematiği rehberini kullanabilirsiniz. Bu yazı torktan ivmeye geçişi açıklamak için hazırlanmıştır; genel sınav takvimi veya puan hedefi planı değildir.

Sıkça sorulan sorular