AP Physics 1: Kaymadan Yuvarlanma

Kaymadan yuvarlanmada kütle merkezinin hızı ile açısal hız, hareketsiz zemin için vCM = R|ω| koşuluyla bağlanır. Enerji hesabında hem öteleme hem dönme bulunur; statik sürtünmenin yeterli olup olmadığı ayrıca kontrol edilir. Bu AP Physics 1 rehberi, özgün eğik düzlem ve enerji örnekleriyle kaymama varsayımını görünür kılar.

Yuvarlanma ile kaymadan yuvarlanma aynı şey değildir

Bir tekerlek hem dönüp hem ilerleyebilir, fakat temas noktası zemine göre kayıyorsa vCM = R|ω| zorunlu değildir. Hareketsiz zeminde ideal kaymama, anlık temas noktasının yer hızının sıfır olmasıdır. Hareketli bantta ise temas noktasının bantla bağıl hızı sıfırdır; noktanın yere göre durması gerekmez.

Güncel College Board AP Physics 1 çerçevesinin 6.5 konusu öteleme ve dönme enerjisini, kaymama koşulunu ve kayma durumundaki enerji kaybını ayırır. Sınır açıklamasına göre yuvarlanma direnci ve kayarken doğrusal–açısal hareketin kesin matematiksel çözümü ders kapsamının dışındadır. Buradaki hesaplar ideal kaymadan yuvarlanan rijit modellere aittir; gerçek lastik deformasyonunu veya kayma süresini hesaplama iddiası taşımaz.

Özgün disk örneği: düşey kayıp iki enerjiye dağılır

Kütlesi 2,0 kg, yarıçapı 0,20 m olan rijit disk durgunluktan başlayıp hareketsiz eğik düzlemde kaymadan yuvarlansın. ICM = ½MR² verilsin. Kütle merkezi 0,60 m alçalsın; g = 10 m/s² kullanılsın. Yuvarlanma direnci ve hava direnci ihmal edilsin; yüzeyin statik sürtünmesi kaymamaya yeterli olsun.

Disk ve Dünya'yı enerji sistemine aldığımızda azalan yer çekimi potansiyel enerjisi Mgh = 12 J'dür. Bu enerji ½MvCM² + ½ICMω² olarak toplanır. ICM = 0,040 kg·m² ve ω = vCM/R bağlantısıyla toplam enerji ¾MvCM² olur. Buradan vCM² = 8 m²/s²; vCM = 2√2 ≈ 2,83 m/s ve |ω| = 10√2 ≈ 14,14 rad/s bulunur.

Öteleme enerjisi 8 J, dönme enerjisi 4 J'dür. Yalnız ½Mv² yazmak v² = 12 vererek dönme katkısını atlar. ½Mv² ile birlikte herhangi bir başka eksene ait I değerini gerekçesiz kullanmak da toplamı bozabilir; bu ayrımda ICM gerekir. Eksen ve enerji tanımı dönme kinetik enerjisi yazısında açıklanır.

Aynı yükseklikten bırakılan cisimleri karşılaştırın

I = βMR² olarak verilen bir rijit şekil için ideal kaymama altında Mgh = ½Mv²(1 + β) yazılır. Yani v² = 2gh/(1 + β). Aynı düşey yükseklikten, durgunluktan başlayan ve aynı koşulları sağlayan cisimlerde kütle bu denklemden sadeleşir. Son sürati, kütleden çok eksene göre kütle dağılımını anlatan β etkiler.

Bu tabloda şekillerin I bağıntıları verilen bilgiler olarak kullanılır. Bir şeklin kütlesini iki katına çıkarmak, yarıçapı ve dağılımı değişmiyorsa enerjileri iki katına çıkarır; aynı düşey kayıp için son sürati değiştirmez. Bu sonuç başlangıç dönmesi, dış motor veya enerji kayıpları eklenen farklı bir düzeneğe otomatik taşınmaz.

Sürtünmenin yeterli olduğunu kuvvet ve torkla sınayın

Disk örneğinin eğim açısı 30° olsun. Aşağı yönü kütle merkezi için pozitif seçelim. Yer çekiminin eğim boyunca bileşeni Mg sin30° = 10 N'dur. Durgunluktan serbest bırakılan bu diskte statik sürtünme yukarı yönlüdür; merkeze göre tork üreterek diski döndürür. Motorlu veya farklı başlangıç dönmesine sahip her yuvarlanmada sürtünmenin aynı yönde olacağını varsaymayın.

Merkez hareketi için 10 − f = 2a; merkeze göre dönme için fR = ICMα; kaymamadan a = Rα yazılır. Verilen disk I'si kullanıldığında f = ½Ma = a olur. Böylece 10 = 3a, a = 10/3 ≈ 3,33 m/s² ve f = 10/3 ≈ 3,33 N bulunur. Burada f = μsN diye başlamak doğru değildir; statik sürtünmenin değeri önce gereken hareketten bulunur.

Normal kuvvet N = Mg cos30° = 10√3 N'dur. Kaymama için gereken f, μsN'yi aşmamalıdır. Bu modelde μs ≥ (10/3)/(10√3) = 1/(3√3) ≈ 0,192 koşulu çıkar. Katsayı bunun altındaysa önceki kaymama çözümü geçerli olmaz. O durumda sınav kapsamına uygun biçimde kayma ve enerji dağılmasını açıklayın; aynı denklemi koşulsuz sürdürmeyin.

Statik sürtünme varken enerji neden azalmak zorunda değil?

İdeal rijit disk ve hareketsiz yüzey modelinde kaymadan temas eden noktanın yer hızı sıfırdır. Bu yüzden statik sürtünme temas üzerinden enerji kaybı üretmez. Diskin 12 J potansiyel enerji azalması, öteleme ve dönme enerjilerinin toplamına gider. “Sürtünme var, mutlaka mekanik enerji kaybolur” genellemesi burada uygun değildir.

Merkezin eğim boyunca aldığı yol s = h/sin30° = 1,20 m'dir. Kütle merkezinin hareket denkleminde sürtünme katkısı −fs = −4 J olarak öteleme enerjisi artışını 12'den 8 J'ye indirir; merkeze göre dönme hesabında torkun katkısı +4 J'dür. Bu iki ayrım toplamda sıfır sürtünme enerji aktarımıyla uyumludur. Merkezin yolunu, temas noktasının gerçek yer değiştirmesi gibi kullanarak sürtünmeye ayrıca −4 J toplam iş yazmayın.

Gerçek yumuşak lastiklerde deformasyon ve yuvarlanma direnci enerji kaybettirebilir. İdeal modelin bu etkileri ihmal ettiğini açıkça koruyun. Kayma varsa temasın bağıl hareketi ve kinetik sürtünmeyle enerji dağılması da ayrıca değerlendirilir; statik ideal sonuca eşit sayılmaz.

Sonucunuzu iki yoldan denetleyin

Diskin h = 0,60 m alçalması için 30° eğimde s = 1,20 m gider. Sabit a = 10/3 ile durgunluktan v² = 2as = 8 sonucu, enerji hesabını doğrular. Sonra vCM = R|ω| ilişkisini ve sürtünme eşitsizliğini kontrol edin. Bağlantının yalnız hızlarla nasıl kurulduğunu görmek için doğrusal ve dönme hareketi rehberine; öğretmen eşliğinde çalışma için AP Physics 1 kursu ve özel ders programına bakabilirsiniz.

Sıkça sorulan sorular