AP Physics 1: Dönme Kinetik Enerjisi

Dönme kinetik enerjisini K = ½Iω² ile hesaplarken eylemsizlik momentinin hangi eksene ait olduğunu belirtin. Kütle merkezi de hareket ediyorsa öteleme enerjisini ayrıca hesaba katın. Bu AP Physics 1 rehberi, özgün noktasal kütle, disk ve hareketli tekerlek örnekleriyle enerji hesabındaki eksen ve model seçimini açıklar.

Formüldeki I ve ω aynı ekseni anlatmalı

Sabit bir eksen çevresinde dönen rijit sistemin kinetik enerjisi, o eksene göre eylemsizlik momenti I ile açısal hızının karesinin yarısıdır. I'nin birimi kg·m², ω'nın birimi rad/s, enerjinin birimi joule'dür. Açısal hız saat yönünde veya tersinde olabilir; kare alındığı için kinetik enerji negatif olmaz. Dönme yönü değiştiğinde aynı sürat ve aynı I için enerji aynıdır.

Güncel College Board AP Physics 1 çerçevesinin 6.1 konusu bu enerji hesabını kapsar. Çerçevenin 5.4 sınır açıklamasına göre uzamlı rijit cisimlerin eylemsizlik momentleri sınavda verilir; bütün şekillerin formüllerini ezberlemeyi şart gibi sunmayın. Buradaki şekil bağıntıları da örneklerin verilen bilgileridir. Aşağıdaki görevler özgündür; gerçek sınav sorusu veya belirli bir puan şeması değildir.

Özgün noktasal kütle modeli: enerjileri doğrudan toplayın

Kütlesiz rijit bir bağlantıya tutturulmuş iki küçük cisim, sabit bir eksenden sırasıyla 0,20 m ve 0,40 m uzaklıkta olsun. Kütleler 1,0 kg ve 2,0 kg; ortak açısal hız 5,0 rad/s olsun. Cisimleri bu mesafelere göre noktasal kabul edelim. Eylemsizlik momenti I = (1)(0,20)² + (2)(0,40)² = 0,36 kg·m² bulunur. Dönme kinetik enerjisi ½(0,36)(5)² = 4,50 J'dür.

Sonucu her cismin çizgisel enerjisiyle denetleyin. v = r|ω| bağlantısından süratler 1,0 ve 2,0 m/s olur. Birinci cismin enerjisi ½(1)(1)² = 0,50 J, ikincininki ½(2)(2)² = 4,0 J'dür. Toplam yine 4,50 J çıkar. Burada ½Iω², tek tek cisimlerin enerjilerinin üzerine eklenecek üçüncü bir enerji değildir; aynı toplamın başka yazımıdır.

İki cismin açısal hızı aynı olduğu hâlde enerjileri aynı değildir. İkinci cismin hem kütlesi hem eksene uzaklığı farklıdır. Sabit ω için bir noktasal kütlenin enerji katkısı ½mr²ω² olduğundan uzaklığı iki katına çıkarmak, diğerleri aynı kalırsa katkısını dört katına çıkarır.

Kütle dağılımını karşılaştırırken neyi sabit tutuyorsunuz?

Birbirinden bağımsız iki örnek dönücünün eylemsizlik momentleri 0,20 ve 0,40 kg·m² olsun. İkisi de 6,0 rad/s ile dönerse enerjileri sırasıyla 3,60 ve 7,20 J'dür. Aynı açısal hızda daha büyük I, daha büyük dönme enerjisi demektir. Fakat bu sonuç, aynı enerjideki iki cismin hızları için tersinden okunmalıdır.

Her ikisine de durgunluktan başlayarak 3,60 J net iş aktarılırsa, I sabit kalmak koşuluyla birinci 6,0 rad/s, ikinci √18 ≈ 4,24 rad/s açısal sürate ulaşır. Enerjinin eşit olması, açısal süratin eşit olması değildir. Hangi büyüklüğün eşit verildiğini yazmadan “büyük I daha çok enerji taşır” diye genel bir karşılaştırma yapmayın.

Kütle merkezi ilerliyorsa iki katkıyı ayırın

Bir rijit cismin toplam kinetik enerjisi, kütle merkezinin öteleme enerjisiyle kütle merkezinden geçen eksene göre dönme enerjisinin toplamı olarak yazılabilir: K = ½Mv_CM² + ½I_CMω². Bu ifadede I_CM kullanılır; kenardan geçen başka bir eksenin I değerini aynı toplamın içine gerekçesiz yerleştirmeyin.

Özgün bir diskin kütlesi 2,0 kg, yarıçapı 0,30 m olsun ve I_CM = ½MR² bağıntısı verilsin. Buradan I_CM = 0,090 kg·m² çıkar. Kütle merkezi 3,0 m/s ilerlerken disk 4,0 rad/s dönüyorsa öteleme enerjisi 9,0 J, dönme enerjisi 0,72 J, toplam 9,72 J'dür. Bu hızlar için v_CM ≠ R|ω|; dolayısıyla kaymadan yuvarlanma koşulunu otomatik varsayamayız. Enerjiyi iki parçaya ayırmak için kaymama gerekmez.

Aynı disk hareketsiz zeminde 3,0 m/s ile kaymadan yuvarlansaydı açısal sürati 10 rad/s olurdu. Bu kez dönme enerjisi 4,50 J, toplam kinetik enerji 13,50 J çıkardı. İki örneğin merkez hızları aynıdır; dönme hızları farklı olduğu için toplam enerjileri farklıdır. Hızların nasıl bağlandığı doğrusal ve dönme hareketi rehberindedir.

Merkezin durması, bütün cismin durması değildir

Sabit merkezli bir tekerlek dönüyorsa merkezinin öteleme enerjisi sıfır olabilir. Kenar noktaları yine hareket eder; dönme enerjisi sıfır olmak zorunda değildir. Öte yandan, dönmeden kayan rijit bir cismin ω'sı sıfırdır ama merkezi hareket ettiği için öteleme enerjisi vardır. Enerji türünü cismin yalnız merkezindeki tek bir noktaya bakarak seçmeyin.

Kütle dağılımını değiştiren bir sistemde I değişebilir. Bu durumda sabit I ve sabit ω varsayımlarını kendiliğinden taşımayın; örneğin açısal momentum korunurken iç hareket enerji alışverişine yol açabilir. Bu ayrı durum, yalnız K = ½Iω² yazmaktan ibaret değildir. Çözümün verilen fiziksel koşullarına göre ek korunum veya iş bilgisi gerekir.

Grafikte enerjiyi açısal hızın karesine karşı çizin

Sabit I'li özgün bir dönücü için ω = 2, 4, 6 rad/s değerlerinde K = 0,40, 1,60, 3,60 J ölçüldüğünü varsayalım. K–ω grafiği bir doğru değildir. Buna karşılık K–ω² grafiğinin eğimi (1,60 − 0,40)/(16 − 4) = 0,10 kg·m² olur. Bu eğim I'nin kendisi değil I/2'dir; I = 0,20 kg·m² bulunur.

Negatif ω için aynı enerji değerleri, kinetik enerjinin dönüş yönünü göstermediğini hatırlatır. Grafik yorumunda eksen etiketini ve birimi kontrol edin. Sıfırdan farklı bir ölçüm kesişimi varsa bunu doğrudan yeni bir fizik yasası saymak yerine ölçümün tanımını, başka enerji katkılarını ve aygıtın sıfırını inceleyin.

Son kontrolde ekseni, I'nin kaynağını, açısal hızın birimini ve öteleme katkısını görünür kılın. Enerjinin nasıl değiştiğini araştırıyorsanız tork ve iş ilişkisini kullanın; yalnız son enerji formülü hangi etkileşimin enerji aktardığını söylemez. Öğretmen eşliğinde çalışma seçenekleri için AP Physics 1 kursu ve özel ders programını inceleyebilirsiniz.

Sıkça sorulan sorular